5.3.3. Пересечение прямой и плоскости общего положения

(первая основная позиционная задача)

Алгоритм решения(рис.37)

1. Через заданную прямую l проводится проецирующая плоскость .

2. Строится линия m пересечения плоскостей  и .

3. Находится точка К пересечения прямой l с построенной линией пересечения m: l К m. Это и есть искомая точка пересечения прямой l с плоскостью.

Задача. Построить точку К пересечения прямой l с плоскостью  (АВС) (рис.37а).

Т.к. заданные прямая и плоскость – об-щего положения, то применяем алгоритм ре-шения первой основной позиционной задачи.

1. Прямую l заключаем во фронтально проецирующую плоскость  : l₂ =₂.

2. Строим линию пересечения m плоскостей  и :

2.1. Фронтальную проекцию m находим из условия её принадлежности плоскости  : m  m₂ =₂ ,

2.2. Горизонтальную проекцию m находим из условия её принадлежности плоскости  : m пересекает стороны ВС и АС:

m  m ВС =1, m АС =2.

Фронтальные проекции точек 1 и 2 находим как результат пересечения одноименных проекций m, ВС и АС:

1₂ = m₂ В₂С₂, 2₂ = m₂ А₂С₂ , а горизонтальные – по принадлежности сторонам треугольника: 1₁ В₁С₁, 2₁ А₁С₁ .Соединив горизонтальные проекции точек 1 и 2, получим горизонтальную проекцию линии пересечения: 1₁ m₁ 2_1.

3. Находим точку пересечения прямой l с треугольником АВС : К₁= m₁ l₁, К₂ l₂.

4. Видимость прямой определяем с помощью конкурирующих точек. На прямой l берем точку 3, фронтально конкурирующую с точкой 1, по построению принадлежащей стороне ВС треугольника. Рассматриваем горизонтальную проекцию совместно с направлением взгляда на П₂. Точка 1 (треугольник) ближе к наблюдателю и заслоняет точку 3(прямую l), следовательно, правее точки К (граница видимости) прямая l является невидимой. На П₁ видимость можно определить аналогичным образом, но проще воспользоваться тем, что плоскость  (АВС) – нисходящая, и у неё на П₁ и П₂ видны разные стороны, а следовательно, и разные участки прямой l: на горизонтальной проекции невидимым является участок левее точки К.

5.4.Пересечение плоскостей общего положения (вторая основная позиционная задача

Алгоритм построения линии пересечения

Для построения линии пересечения плоскостей общего положения применяется метод вспомогательных секущих плоскостей(рис.38):

1.Проводится вспомогательная проецирующая плоскость Г, пересекающая заданные ( (а в) и  (c d )).

2.Строятся линии пересечения вспомо-гательной плоскости с заданными:

(12) = Г (а в), (34) = Г (c d).

3.Находится точка пересечения построенных линий пересечения: L= (12) (34). Эта точка – общая для двух заданных плоскостей и, следовательно, лежит на линии их пересечения.

4. Введя еще одну вспомогательную проецирующую плоскость Г^*, по аналогичному алгоритму находим вторую точку линии пересечения К. Если Г Г^*, то построение линии пересечения вспомогательной плоскости Г^* с заданными значительно упрощается, т.к. параллельными плоскостями плоскость пересекается по параллельным прямым.

5. Соединив одноименные проекции точек L и К, находим линию пересечения заданных плоскостей

Задача. Построить линию пересечения плоскостей общего положения  (а в) и

 (c d) (рис.38а).

Алгоритм решения

1.Проводим горизонтальную плоскость Г, пересекающую заданные плоскости.

2.Строим линии m и n пересечения вспомогательной плоскости Г с заданными плоскостями (а в) и (c d ).

Фронтальные их проекции находим из ус-ловия принадлежности линий пересечения плоскости Г : m₂ = n₂ = Г₂. Горизонтальные проекции линий пересечения находим из условия их принадлежности плоскостям  (а в) и  (c d): располагаясь в  и , прямые m и n пересекают прямые, задающие эти плоскости в точках 1, 2, 3, 4 соответственно. Найдя фронтальные проекции этих точек как результат пересечения одноименных проекций прямых: 1₂ = a₂ m₂ , 2₂ = b₂ m₂, 3₂ = с₂ n₂, 4₂ = d₂ n₂, горизонтальные их проекции находим по принадлежности соответствующим прямым: 1₁ a₁, 2₁  b₁, 3₁ с₁, 4₁ d₁. Соединив попарно точки 1₁,2₁ и 3₁ ,4₁ , получим горизонтальные проекции m₁ и n₁ .

3. Находим точку К – общую для заданных плоскостей: К₁ = m₁ n₁ и К₂ Г₂

4. Вторую точку L искомой линии пересечения заданных плоскостей находим по аналогичному алгоритму, проведя вспомогательную плоскость Г^* Г.

5. Соединив одноименные проекции точек L и К, находим линию пересечения заданных плоскостей