11.3.Особые случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка

В общем случае поверхности вращения 2-го порядка пересекаются по пространственным кривым 4-го порядка. Существуют частные случаи, когда такие поверхности пересекаются по плоским кривым второго порядка.

С одним таким случаем - соосными поверхностями - мы познакомились выше. Другие признаки распадения кривой 4-го порядка на плоские кривые 2-го порядка сформулированы в следующих теоремах.

Теорема о двойном прикосновении: если две пересекающиеся поверхности вращения 2-го порядка имеют две точки касания, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

Под точкой касания поверхностей понимается такая их общая точка, через которую можно провести плоскость, касательную к обеим поверхностям.

Теорема Монжа: если две пересекающиеся поверхности 2-го порядка описаны около третьей поверхности 2-го порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания поверхностей.

На рис.87 показаны два цилиндра вра-щения, описанные вокруг сферы радиуса r. По теореме Монжа они имеют две точки касания А = e l и В = f k, через которые можно провести фронтальные плоскости  (₁) и ^*(₁^*), касающиеся обеих цилиндров по образующим e, f и k, l. На П₂ проекции точек А и В, найденные по принадлежности образующим e и f, совпадают (A₂ = B₂), то есть отрезок (АВ) – фронтально проецирующий, и плоскости кривых, по которым пересекаются цилиндры, также фронтально проецирующие и проецируются на П₂ в виде отрезков, проходящих через A₂ = B₂ . Для построения этих отрезков достаточно построить еще две пары точек, принадлежащих обоим цилиндрам. Это точки пересечения фронтальных очерковых, лежащих в одной фронтальной плоскости Ф(Ф₁): 1₂ = m₂ c₂ , 2₂ = m₂ d₂ , 3₂ = n₂ c₂ , 4₂ = n₂ d₂ .

Cоединив попарно точки 1₂ и 4₂ , 2₂ и 3₂ отрезками, получим проекции ЛП цилиндров - двух плоских кривых второго порядка. Т.к. плоскости их наклонены к осям цилиндров, то это эллипсы. На П₁ эллипсы проецируются на окружность – вырожденную проекцию горизонтально проецирующего цилиндра.

12. Развертки поверхностей

Разверткой называется фигура, полученная совмещением с плоскостью без складок и разрывов гранной или криволинейной поверхности, которые можно представить себе как гибкую нерастяжимую пленку. Не все поверхности являются развертываемыми. К последним относятся гранные поверхности, цилиндр, конус и торс, а все остальные криволинейной поверхности можно развернуть только приближенно, заменяя (аппроксимируя) развертывающимися поверхностями.

12.1.Развертка призмы

Развертка призмы представляет собой фигуру, состоящую из натуральной величины боковых граней и обоих оснований. Мысленно разрезав многогранник по одному из боковых ребер и ребрам оснований, вращением вокруг остальных ребер последовательно совмещаем все грани с плоскостью проекций.

Для построения развертки призмы необходимо знать натуральные величины ребер призмы и нормального сечения. Нормальным называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам. При развертывании боковой поверхности призмы нормальное сечение разворачивается в прямую, перпендикулярную проекциям боковых ребер на развертке.

Задача. Построить развертку прямой треугольной усеченной призмы (рис.88).

Т.к. призма прямая, то основание ее будет нормальным сечением, которое на П₁ проецируется в натуральную величину. Ребра призмы - фронтальные прямые, следовательно,

на П₂ они проецируются в натуральную величину. Таким образом, все необходимые данные для построения развертки уже имеются на чертеже.

Алгоритм построения развертки:

1. Строим развертку боковой поверхности усеченной призмы.

На свободном поле чертежа ( для удобства построений – в проекционной связи с фрон-тальной проекцией нижнего основания) строим развертку нормального сечения (основания) – проводим прямую, на которой откладываем НВ ребер основания, взяв их с горизонтальной проекции – [АВ] = [А₁В₁] и т.д.

Через построенные на развертке вершины основания проводим прямые, перпендикуляр-ные развертке основания, и откладываем на них НВ боковых ребер и отрезков, отсекаемых на них секущей плоскостью  ; если развертка строится в проекционной связи с фронталь-ной проекцией призмы (как на рис.87), то для этого достаточно провести горизонтальные линии связи до пересечения с проекциями соответствующих ребер.

2. Пристраиваем к полученной развертке боковой поверхности НВ основания и сечения, строя их по их трем известным сторонам (методом триангуляции). Для построения НВ сечения выбираем в качестве исходной его сторону (23), и из точек 2 и 3 проводим дуги окружностей, радиусы которых равны соответственно [12] и [13]. Точка пересечения этих дуг и есть вершина А сечения. Аналогично строим НВ основания.

Задача. Построить развертку боковой поверхности наклонной призмы (рис.89).

Боковые ребра и нормальное сечение призмы занимают общее положение и проецируются на плоскости проекций с искажением, поэтому, прежде чем приступать к построению развертки, необходимо определить их натуральные величины.

Алгоритм решения

1. Определяем НВ боковых ребер методом замены плоскостей проекций, проводя вместо П₂ дополнительную плоскость проекций П₄, параллельную боковым ребрам:

: П₂ П₄ АD, П₁ / П₂ (x₁₂) П₁ / П₄ ( s₁₄ А₁D₁ ). Строим проекцию призмы в П₄ по известному алгоритму (см. стр.21, рис.43). Проекции боковых ребер в П₄ являются их НВ.

2. Определяем НВ нормального сечения. Проводим в системе П₁ / П₄ плоскость нормального сечения  , перпендикулярную боковым ребрам. Т.к. последние параллельны П₄, то прямой угол между  и боковыми ребрами проецируется в П₄ в НВ : ₄  A₄D₄ . Строим проекции нормального сечения сначала в П₄ (отрезок 1₄2₄3₄), а затем в П₁ , находя вершины сечения по принадлежности соответствующим ребрам. НВ нормального сечения находим методом плоско параллельного перемещения относительно П₄ , выставляя при этом сечение параллельно П₁ , а его проекцию параллельно оси s_{14 .} Величина проекции на П₄ при этом не изменяется : [1₄2₄3₄] = [1₄^*2₄^*3₄^*]. Строим проекцию нормального сечения на П₁, находя проекции его вершин 1₁^*,2₁^*,3₁^* как результат пересечения траекторий перемещения проекций вершин на П₁ с соответствующими линиями связи в системе П₁ / П₄ . Треугольник (1₁^*2₁^*3₁^*) и будет НВ нормального сечения.

3. Строим развертку боковой поверхности призмы. На свободном поле чертежа проводим прямую и строим на ней развертку нормального сечения, откладывая на ней НВ ребер нормального сечения : [12] = [1₁^*2₁^*] и т.д. Через построенные точки 1,2,3,1 проводим прямые, перпендикулярные развертке нормального сечения – проекции боковых ребер на развертке, и откладываем на них НВ отрезков, на которые делит ребра плоскость  , беря их с проекции призмы на П₄ : [A1] = [A₄1₄], [D1] = [D₄1₄] и т.д. Соединив построенные точки отрезками, получаем развертку боковой поверхности наклонной призмы.

Чтобы получить полную развертку призмы, необходимо пристроить к ней НВ верхнего и нижнего оснований, как это показано в предыдущей задаче (рис.88).