10.4.Пересечение поверхности прямой линией

В общем случае для построения точек пересечения прямой с поверхностью применяется метод вспомогательных секущих плоскостей по следующему алгоритму (рис.78):

1. Прямая l заключается в плоскость , пересекающую поверхность Ф по геометрически простой линии: l   Ф.

2. Строится линия m пересечения поверхности Ф вспомогательной плоскостью  :

m = Ф.

3. Искомые точки 1 и 2 находим как результат пересечения заданной прямой l с построенной линией пересечения m: 1,2 = l m.

Задача. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью сферы Ф (О^*,R) (рис.79).

Алгоритм решения

1. Заключаем прямую l в горизонтально проецирующую плоскость  : l₁= _1.

2. Строим линию пересечения плоскости  со сферой – окружность (О, r). На П₁ окружность проецируется в виде отрезка, расположенного внутри очерка сферы на вырожденной проекции ₁ . Разделив отрезок пополам, находим проекцию центра О₁ и радиус r сечения. На П₂ окружность проецируется в виде эллипса, т.к.  на-клонена к П₂ . Построение эллипса - графически довольно сложная задача. Поэтому для упрощения решения вводим дополнительную плоскость П₄, расположив её параллельно  , и переходим к новой системе плоскостей проекций

П₁ / П₄ : П₂ П₄ ,

П₁ / П₂ (x₁₂) П₁ / П₄ ( s₁₄ ₁ ).

Строим в П₄ проекцию окружности, находя проекцию её центра по алгоритму построения точки в дополнительную плоскость.

Взяв на прямой l произвольные точки 1 и 2, строим их проекции на П₄ , соединив которые получаем проекцию прямой l₄

3. Находим точки А и В пересечения прямой l со сферой, сначала на П₄ как результат пересечения l₄ с проекцией окружности (О₄ , r ), а затем по принадлежности прямой l на остальных плоскостях проекций.

4. Видимость точек А и В и прямой l определяем по представлению, рассматривая проекции совместно с направлением взгляда на соответствующую плоскость проекций, как это показано на рис.79.

11. Взаимное пересечение поверхностей

11.1.Пересечение криволинейной и гранной поверхностей

Линией пересечения (ЛП) криволинейной и гранной поверхностей является пространственная замкнутая ломаная, вершинами которой являются точки пересечения ребер многогранника с криволинейной поверхностью, а звенья - линии пересечения криволинейной поверхности с гранями многогранника. В случае врезки ЛП состоит из одной ломаной, в случае проницания - из двух (рис.80).

Особые точки ЛП:

• вершины ломаной – точки пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;

• опорные точки (граничные точки видимости) - точки пересечения очерковых образующих криволинейной поверхности с гранной поверхностью;

• особые точки кривых - звеньев ЛП: центры, вершины, точки на концах осей и т.д.

Построение ЛП сводится к двум выше уже рассмотренным выше задачам: а) построить точки пересечения прямой с поверхностью и б) построить сечение поверхности плоскостью.

Задача. Построить проекции конуса с призматическим вырезом (рис.81).

Алгоритм решения

1. Определяем тип линии пересечения (ЛП). Т.к. ни одна из поверхностей не пересекает другую полностью, то данный случай - врезка и ЛП состоит из одной ломаной.

Звенья ЛП – конические сечения: грань призмы Г(Г₂ ), перпендикулярная оси конуса,

пересекает конус по дуге окружности; грань призмы (₂) , плоскость которой проходит через вершину конуса, - по образующим конуса; грань призмы (₂), наклоненная к оси конуса (), - по дуге эллипса.

Т.к. грани призмы фронтально проецирующие, то на П₂ проекция ЛП совпадает с проекцией призматического выреза.

2. Находим особые точки ЛП сначала на известной фронтальной проекции:

-вершины ломаной – точки пересечения ребер n и m c поверхностью конуса - совпадают с проекциями самих ребер, т.к. ребра – фронтально проецирующие: n₂ = 1₂ =2₂, m₂ = 3₂ =4₂.

-центр О(О₂) и точки на концах осей эллипса. Продлив грань  (₂) до пересечения с очерковой образующей S₂ B₂ находим фронтальную проекцию большой оси эллипса 5₂ 6₂ , разделив которую пополам находим центр О(О₂) и точки 7₂= 8₂ на концах малой оси.

- граничные точки видимости находим как результат пересечения вырожденных про-екций граней призматического отверстия с очерковыми образующими конуса: граничные точки видимости на П₂ – 5₂ = S₂А₂ ₂ , 13₂ = S₂А₂ Г₂ , граничные точки видимости на

П₃ – 9₂ = S₂ C₂ ₂ , 10₂ = S₂ D₂ ₂ , 11₂ = S₂ C₂ Г₂ , 12₂ = S₂ D₂ Г₂.

На остальных проекциях найденные на П₂ точки находим либо по их принадлежности образующим, на которых они расположены, либо по их принадлежности конусу. Например, точки 7 и 8 находим, проведя параллель радиуса r. При этом для достижения требуемой точности построений не рекомендуется пользоваться постоянной чертежа к₀ и ломаными линиями связи между П₁ и П₃ (см. задачу на рис.77).

3. Случайные точки (на дуге эллипса) выбираем произвольно на П₂ , а другие их проекции находим по принадлежности поверхности конуса, как точки 7,8.

4. Построенные точки соединяем с учетом их видимости на проекциях, определяя види-мость по представлению. При взгляде сверху ЛП видима полностью, не видны только ребра m и n отверстия. На П₂ видимые и невидимые части ЛП совпадают. При взгляде слева (на П₃) видимы части ЛП, лежащие на левой половине конуса, а также участки прямых (13) и (24) из-за отсутствия материала, их закрывающего.

Задача. Построить проекции сферы с призматическим вырезом (рис.82).

Алгоритм решения

1. Определяем тип линии пересечения (ЛП). Т.к. поверхность сферы пересекает по­верх-ность призматического отверстия полностью, то данный случай - проницание (а точ­нее – граничный случай, т.к. одно из ребер призмы не пересекает, а касается сферы) и ЛП состоит из одной ломаной, звеньями которой являются дуги окружностей.

Грани Г (Г₂ ) и  ( ₂ ) параллельны П₁ и расположенные в них сечения сферы прое­циру-ются в П₁ в натуральную величину в виде дуг окружностей, а в П₃ — в виде горизон­тальных отрезков. Грань  (_) наклонена к П₁ и П₃ и дуга окружности, в ней расположенная, проеци-руется в эти плоскости проекций в виде дуг эллипса. Грань  (_ параллельна П₃ и располо-женное в ней сечение сферы прое­цируется в П₃ в натуральную величину в виде дуг окружно-стей, а в и П₂ — в виде отрезков.

2. Т.к. грани призмы фронтально проецирующие, то на П₂ нам известна проекция ЛП: она совпадает с проекцией призматического выреза и мы можем отметить все особые точки ЛП: вершины 1, 2, 3, 4, граничные точки видимости на П₁ (5, 6) и на П₃ (4, 7), а также центр окружности О, расположенной в грани  (_), и её горизонтальный диаметр 8-8^/. Проекции центра О₂ и точек 8₂ и 8₂^/ можно найти либо делением пополам диаметра 1-1^*=1₁-1₁^*, либо как результат пересечения вырожденной проекции грани  ₂ с опущенным на неё из центра сферы О₂^* перпендикуляром.

Т.к. три из четырёх граней призматического отверстия пересекают сферу по геоме­три-чески простым линиям (окружностям), которые в свою очередь проецируются в виде геомет-рически простых линий, то оптимальным алгоритмом решения является построение сразу проекций этих линий на П₁ и П₃ с попутным нахождением проекций особых точек ЛП.

Для построения горизонтальной проекции дуги окружности в грани Г(Г₂) необходи­мо найти её центр и радиус. Центр дуги находим как результат пересечения вырожденной про-екции грани Г₂ с вертикальной осью сферы, а её радиус R_Г равен расстоянию от цен­тра до о черка сферы. Построив на П₁ окружность радиусом R_Г находим по принадлежно­сти ей осо-бые точки ЛП: 1₁ - проекцию точки, общей для двух ветвей ЛП; 2₁ и 2₁ ^/- верши­ны ЛП и точки 7₁ и 7₁ ^/ - граничные точки видимости на П₃. Дугу 2₁-1₁-2₁^/ проводим сплошной основной линией, т.к. она расположена на верхней полусфере и видима на П₁.

Для построения профильной проекции дуги окружности в грани Г находим точки 1₃, 7₃ и 7₃^/ как результат пересечения её вырожденной проекции Г₃ с проекциями главного ме­ридиана т₃ и профильного очерка р₃ сферы соответственно. Точки 2_з и 2_з' находим, откладывая на Г₃ от вырожденной проекции плоскости симметрии Ф₃ отрезки, равные расстоянию между горизонтальной вырожденной проекцией Ф₁ и проекциями точек 2₁ и 2₁^/. Т.к. дуги 2-7 лежат на левой полусфере, то на П₃ они видимы, и поэтому соединяем их сплошной основной линией, а дуга 7₃ - 1₃ -7₃^/ невидима на П₃, т.к. лежит на правой полусфере.

По аналогичному алгоритму строим горизонтальные и профильные проекции дуг окружностей, расположенных в гранях  и .

3. Для построения горизонтальной и профильной проекций дуги окружности в грани , которая проецируется на П₁ и П₃ в виде дуг эллипса, необходимо найти принадлежа­щие им проекции особых точек. Проекции центра эллипса О₁ и О₃ находим, используя уже найденную его проекцию О₂, по принадлежности вырожденным проекциям плоскости симметрии Ф (Ф₁, Ф₃,). Проекции точек 8 и 8^/ на П₁ и П₃ находим из условия равенства диаметров окружности 1-1^*=1₂ -1₂^*= 8 - 8^/= 8₁-8₁^/ =8₃-8₃^/ . Проекции точек 1, 4 и 4', 6 и 6' находим по принадлежности соответствующим очеркам сферы. Сначала находим профильные проекции точек 4₃, 4₃^/ по принадлежности меридиану p₃ , а затем – их горизонтальные проекции 4₁, 4₁ ^/, отложив на p₁ от Ф₁ отрезки, равные расстоянию между проекциями 4₃ , 4₃^/ и Ф₃. Проекции точек 6 и 6' находим аналогичным образом сначала на П₁ , а затем на Ф₃.

Случайные точки эллипса на П₁ и П₃ можно построить либо методом секущих пло­скостей (как точки 1,2,7), либо используя свойство симметрии эллипса. Например, строим точку 4₁^* , симметричную относительно оси эллипса 8₁- 8₁^/ранее найденной точке 4.

4. Построенные точки эллипса соединяем плавной кривой с учетом их видимости на проекциях, определяя видимость по представлению. Участок эллипса 1-6 лежит на вер­хней полусфере и виден на П₁. Остальная часть эллипса, лежащая на нижней полусфере, также ви-дима сверху, т.к. не закрывается остатком верхней полусферы, ограниченным окружностью R_Г. Аналогично строим профильную проекцию эллипса и определяем его видимость. При этом часть проекции эллипса, заслоняемую остатком левой полусферы, ограниченным окружностью радиуса R_ .

5. Достраиваем горизонтальную и профильную проекции сферы с отверстием с уче­том видимости очерков поверхностей. Часть горизонтального очерка - экватора п - между точка-ми 5 и 6 вырезана отверстием (см. проекцию на П₂), а остальная часть экватора видима и обводится сплошной основной линией. По аналогичной причине отсут­ствует часть профиль-ного очерка сферы между точками 4 и 7. Ребра призматического отверстия проходят внутри сферы и на П₁ и П₃ невидимы.