7.2.Пересечение многогранника прямой

Алгоритм решения (рис.60)

1. Через прямую проводим вспомогательную секущую плоскость: l  .

2. Строим сечение многогранника плоскостью: DEF = Ф_мн  .

3. Определяем точки пересечения прямой с построенным сечением: M,N = l  DEF.

Задача. Найти точки пересечения прямой l с пирамидой SАВС (рис.61).

Алгоритм решения приведен выше:

1. l  . l₂ =  ₂ .

2. DEF = Ф_мн   D₂ = ₂ A₂ S₂ , D₁ A₁S₁

E₂ = ₂ B₂S₂ , E₁ B₁S₁

F₂ = ₂ С₂S₂ , F₁ C₁S₁.

3. M,N = l  DEF M₁ = l₁ D₁E₁ , M₂ l₂

N₁ = l₁ F₁E₁ , N₂ l₂ .

Видимость определяем по представлению. Грани АSB и BSC видимы на обеих проекциях, значит, видимы и точки M и N, в них лежащие и прилегающие к точкам участки прямой l . Невидимым является только участок прямой, лежащий внутри пирамиды. На П₁ невидимым будет ребро АС пирамиды: скрещивающееся и конкурирующее с ним в видимости ребро SB расположено ближе к наблюдателю.

7.3.Взаимное пересечение многогранников

Линией пересечения двух многогранников является пространственная замкнутая ломаная, вершины которой - точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго и ребер второго с гранями первого, а сторонами - линии взаимного пересечения граней многогранников.

При взаимном пересечении двух многогранников могут встретиться два случая: врезка и проницание. Врезкой называется случай, когда ни одна из поверхностей не пересекает другую полностью (рис.62а). Проницанием называется случай, когда одна из поверхностей полностью пересекается другой поверхностью (рис.62б). В случае врезки линия пересечения состоит из одной ломаной, а в случае проницания - из двух.

Задача. Построить проекции линии пересечения пирамиды с поверхностью призматического отверстия (рис.63).

Алгоритм решения

1. Т.к. поверхность призматического отверстия полностью пересекается поверхностью пирамиды (случай проницания), то линия пересечения (ЛП) состоит их двух пространственных замкнутых ломаных. Боковые грани призмы - фронтально проецирующие, поэтому фронтальная проекция ЛП совпадает с фронтальной проекции призматического отверстия, при этом проекции обеих фронтально конкурирующих контуров ЛП совпадают.

2. Находим вершины ломаной - точки пересечения ребер призмы с поверхностью пирамиды. Т.к. ребра призмы фронтально проецирующие, точки пересечения их с поверхностью пирамиды (каждое ребро пересекает пирамиду дважды) на П₂ совпадают с проекциями самих ребер: п₂ = 1₂=2, m₂ =3₂ = 4₂., l₂ = 5₂=6₂. Горизонтальные проекции найденных точек находим методом вспомогательных секущих плоскостей:

а) проводим плоскость Г (Г₂) через ребро n параллельно основанию пирамиды,

б) строим сечение k пирамиды этой плоскостью: на П₂ - k₂ = , а на П₁ проекция сечения k₁ будет представлять собой квадрат, стороны которого параллельны сторонам основания, т.к. боковые грани пирамиды параллельными плоскостями пересекаются по параллельным пря-мым. Для построения этого сечения на находим его вершину - точку 7 сначала на П₂ –

7₂= Г₂ А₂ , а затем и на П₁ по принадлежности ребру А пирамиды - 7₁ А₁ .

в) построив квадрат k₁ , по принадлежности ему находим горизонтальные проекции точек 1 и 2.

По аналогичному алгоритму с помощью вспомогательной плоскости Г^*(Г*₂) находим горизонтальные проекции точек 3,4,5,6.

Профильные проекции найденных вершин находим по двум известным, либо построив для каждой из них прямоугольник ортогонального чертежа (рис.8), либо используя более простой и точный метод, применяемый в инженерной практике. Выбирается базовая плоскость для отсчета нужных размеров вдоль оси y₁₃. Если фигура имеет плоскость симметрии, то базовую плоскость проводят обычно через неё. В нашем варианте за такую плоскость принимаем фронтальную плоскость Ф, проходящую через ось пирамиды, задавая её вырожденными проекциями Ф₁ и Ф₃ . Для построения профильной проекции какой - либо точки (например, 1) замеряется расстояние между Ф₁ и 1₁ ( )и откладывается на П₃ по соответствующей горизонтальной линии связи от Ф₃ вправо (для чего наличие К₀ нужно всегда иметь в виду, даже если она не нанесена на чертеже) и получаем проекцию 1₃ .

3. Находим вершины ломаной 9,10,11 12, - точки пересечения ребер пирамиды B и D с поверхностью призмы. Находим сначала на П₂ как результат пересечения проекций этих ребер пирамиды с вырожденными проекциями граней пm и ml призмы. Проекции этих вершин на П₁ и П_з находим по принадлежности ребрам пирамиды сначала на П_з, а затем и на П₁ методом, описанным выше..

4. Соединяем найденные вершины отрезками прямых, руководствуясь правилом: соединять отрезками можно только вершины, лежащие в одной грани призмы и одной грани пирамиды. Во избежание ошибок составляем последовательность соединения вершин: 1-5-11-3-9-1 и 2-6-12-4-10-2.

5. Определяем видимость ЛП и ребер поверхностей по представлению. О видимости ЛП на фронтальной проекций уже говорилось выше: видимый и невидимый контуры ЛП совпадают, как и видимые и невидимые ребра пирамиды. При взгляде сверху (на П₁) все звенья ЛП видимы, т.к. лежат на видимых боковых гранях пирамиды. Ребра пирамиды являются видимыми, кроме участков 9₁11₁ и 10₁12₁ , вырезанных отверстием. Ребра призматического отве-рстия проходят внутри пирамиды и невидимы. На П₃ видимыми будут звенья ЛП (9₃ 3₃ 11₃) и (10₃ 4₃ 12₃), лежащие на видимых слева (см. П₂ совместно со стрелкой – направлением взгляда на П₃ ) гранях пирамиды AB и AD. Остальные звенья ЛП лежат на невидимых слева гранях пирамиды ВС и СD и являются невидимыми, но т. к. часть пирамиды вырезана, то участки звеньев ЛП 1₃5₃ и 2₃6₃ , которые не закрыты оставшимся материалом пирамиды (ограниченным звеньями 9₃ 3₃ 11₃ и 10₃ 4₃ 12₃) будут видны. Видимость ребер поверхностей на П₃ такая же, как на П₁ .