7.1.Пересечение многогранника плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью получают многоугольник, вершины которого - точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны - линии пересечения его граней с той же плоскостью (рис.56).

Задача. Построить проекции и НВ сечения пирамиды SАВС плоскостью  (₁) (рис.57).

Алгоритм решения

1.Так как  - горизонтально проецирующая плоскость, то отрезок ее вырожденной проекции ₁ , лежащий внутри очерка пирамиды, - горизонтальная проекция сечения. Вершины сечения сначала находим на П₁, как результат пересечения ₁ с проекциями ребер, а затем на П₂ - по принадлежности ребрам.

2. Найденные одноименные проекции вершин сечения соединяем отрезками, руководствуясь правилом: отрезками прямых можно соединять только точки, лежащие в одной грани многогранника.

3. НВ сечения определяем способом замены плоскостей проекций:

П₂ П₄ , П₁ / П₂ (x₁₂) П₁ / П₄ ( s₁₄ ₁ )

4. Видимость на чертеже определяем по представлению. Из двух скрещивающихся ребер SB и АС при взгляде сверху ближе к наблюдателю SB, поэтому АС на П₁ невидимо. На П₂ невидимой является грань ASC и лежащая в ней сторона сечения (12).

Задача. Построить сечение призмы ABC плоскостью (m n) общего положения (рис.58).

Алгоритм решения

1. Т.к. боковые грани и ребра призмы – горизонтально проецирующие, то горизонтальная проекция сечения DEF совпадает с горизонтальным очерком призмы, а горизонтальные проекции вершин - с горизонтальными проекциями боковых ребер: D₁= A₁, E₁= B₁, F₁= C₁.

2. На остальных плоскостях проекций вершины находим по принадлежности их секущей плоскости (m n), проводя в ней прямые, проходящие через горизонтальные проекции вершин. Например, для нахождения фронтальных проекций вершин D и E продолжаем сторону сечения D₁Е₁ до пересечения с проекцией прямой m₁(D₁Е₁ m₁=1₁ ), находим 1₂ m₂ и проводим через неё прямую, параллельную n₂ , т.к. судя по горизонтальной проекции, n DE. На пересечении этой прямой с ребрами А и В и расположены проекции вершин D₂ и E₂ Вершину F находим с помощью прямой 23.

3. Видимость на П₂ определяем по представлению. При взгляде на П₂ прямая m располагается за призмой и часть её, лежащая внутри очерка призмы, будет на П₂ невидима. Соответственно, верхние части боковых ребер А, В и С будут видны вплоть пересечения их с плоскостью  (m n) в точках D,E,F. Невидимой на П₂ будет и грань АС призмы и лежащая в ней сторона сечения DF.

Задача. Построить проекции сечения наклонной призмы плоскостью  (m n) (рис.59).

Алгоритм решения

Т.к. секущая плоскость, грани и ребра призмы - общего положения, то вершины сечения находим по алгоритму решения первой основ-ной позиционной задачи: а) заключаем ребра призмы в проецирующие плоскости; б) находим линии пересечения заданной и вспомогательных плоскостей; в) находим точки пересечения ребер с соответствующими построенными линиями пересечения.

1. Для нахождения точки пересечения ребра А с плоскостью  заключаем ребро во фронтально проецирующую плоскость  (₂= l₂). Находим на П₁ линию l пересечения  с заданной плоскостью по двум точкам 1 и 2 пересечения  с прямыми m и n плоскости  :

1= m, 2= n, 1 l 2.

Находим точку D пересечения построенной линии пересечения l с ребром А:

D₁ = А₁ l₁ , D₂ А₂.

2. По аналогичному алгоритму с помощью фронтально проецирующих плоскостей (₂) и (₂) находим точки Е и F пересечения ребер В и С с секущей плоскостью . При этом, т.к. вспомогательные секущие плоскости ,  и  параллельны, то они пересекают призму по параллельным прямым. Поэтому для построения горизонтальных проекций прямых р₁ и к₁ достаточно построить на П₁ по одной точке им, им принадлежащей (3₁ и 4₁ ).

3. Остальные ребра призмы плоскостью  не пересекаются, таким образом, сечение призмы представляет собой треугольник D, Е, F. Соединяем одноименные проекции построенных вершин и получаем проекции сечения.

4. Видимость элементов чертежа определяем по представлению. Для определения видимости на П₂ рассматриваем горизонтальную проекцию совместно со стрелкой – направлением взгляда на П₂ . Прямая m располагается за призмой и ее часть, расположенная внутри очерка призмы невидима. Следовательно, участки боковых ребер, расположенные выше точек D, Е, F будут видны на П₂.Все остальные участки ребер призмы, а также грань АВ и сторона сечения DF, в ней расположенная, на П₂ невидимы. При взгляде сверху видимыми будут участки ребер призмы, расположенные выше секущей плоскости  (на П₁ это участки боковых ребер, расположенные правее точек D₁, Е₁, F₁), а также стороны сечения DЕ и DF, расположенные на видимых сверху гранях АВ и АС. Сторона ЕF, расположенная в невидимой сверху грани ВС, будет невидима.