2. Үлестіру.

n саннан тұратың x₁, x₂, . . . x_n алғашқы берілген массивті қарастырамыз. Осы массивтің ең үлкен А және ең кіші В элементтерің табайық. АВ кесіндісің бірдей К интервалға бөлшектейік (К саны к=1+3,31*ln n формыласы бойынша табылады). Большектелінген интервалдан кез келгенің қарастырайық (j=n). Y_i арқылы интервалдың ортасына сәйкес келетін санды белгілейік. Осы массивтін қарастырылатын интервалда жататың элементтер саның санайық және оны n_i арқылы белгілейік.

белгілі. Алынған интервалда жатқан массив элементтерін, барлығы у_i –ші ге дәл келеді деп санап, орталандырайық. формуласы бойынша анықталатын у_j мәніне сәйкес келетін f_j саның жиілік деп айтамыз. y_j мәндерінін жиынтығын және оларға сйкес келетін жиіліктерді

эмпирикалық үлестіру немесе статистикалық үлестіру деп аталады.

Теориялық біз кейбір кездейсоқ Х шамасынын мәні ретінде экспериментальды берілгендерді қарастыруымызға болады. Егер барлық теориялық мүмкін Х шамасынын мәндері шекті немесе санақты болса, онда оны дискреттік кездейсоқ шама деп атайды. Х дискреттік кездейсоқ шаманың әрбір мүмкін х_i мәні үшін F(X) функциясы сол мәннін пайда болу F(x_i) ықтималдығына тен, және кездейсоқ шаманын ықтималдықтарын үлестіруін белгілейді. Е(Х)= формуласымен аңықталатын Е(Х) шамасын кездейсоқ Х шамасынын математикалық күтім деп атайды. формуласымен берілген D(X) шамасын осы кездейсоқ шаманын дисперсиясы деп атайды. Математикалық күтім үлестіру орталығын сипаттайды, ал дисперсия – орталық манайында кездейсоқ шаманын мәндерінін таралу (шашырау) дәрежесін сипаттайды. (1-7) формулалары тәжірибелік берілгендер негізінде математикалық күтімнін және дисперсиянын (орта квадраттық ауытқуын) бағасын алуға мүмкіндік береді.

Ен жиі кездесетін дискреттік үлестірулер келесілер болып саналады.

3. Биноминаль үлестіруі.

Кездейсоқ шама 0,1,2,..., бүтін мәндерді қабылдай алады делік. Бұл шама биноминальды заң бойынша бөлінген деп айтамыз егер оны улестіруін беретін функциянын түрі келесідей болса.

(7,39) (9)

Мұнда m<n және p – бірден кіші, кез-келген оң сан.

Егерде әрбір n тәуелсіз тәжірибелерде белгілі бір оқиғанын пайда болу ықтималдығы р-ға тен болса, онда барлық n тәжіриебелерде оқиғанын пайда болу саны биноминальдық үлестіруі бар кездейсоқ шама болып табылады.

Биноминальды зан бойынша бөлінген кездейсоқ шаманын математикалық күтімі np-ға тен, ал онын дисперсиясы np(1-р) тен болады.

4. Пуассон үлестіруі.

Кездейсоқ Х шамасы кез-келген бүтін теріс емес мән қабылдасын делік. Бұл шама Пуассон заңы бойынша бөлінген деп айтамыз егерде оны үлестіруін беретін функциянын түрі келесі болса:

(7,40) (10)

Мұнда а – Пуассон занынын параметрі деп аталатын белгілі бір оң сан. Пуассон заңы бойынша бөлінген (үлестірілген) кездейсоқ шаманын мысалын келтірейік. Белгілі бір осьте кездейсоқ түрде нүктелер үлестірілсін, сонымен бірге келесі шарттар орындалады делік.

1. Кесіндіге нүктелердің бір немесе басқа сандарының тию ықтималдығы тек қана кесіндінін ұзындығына тәуелді болады және оның осьтағы орнына тәуелді болмайды, яғни нүктелер осьта бірдей орта тығыздықпен үлестіріленген, оны біз арқылы белгілейміз.

2. Осьте нүктелер бір бірінен тәуелсіз үлестіріледі.

3. Екі және одан үлкен сан нүктелердін сәйкес болуы практикада мүмкін емес. Егерде біз ұзындығы l кесіндісіне түскен нүктелер саны ретінде берілген кездейсоқ шаманы қарастыратын болсақ, онда бұл кездейсоқ шама а=рl параметрлі Пуассон заны бойынша үлестірілген болады. Пуассон заны бойынша үлестірілген кездейсоқ шама үшін математикалық күтім де дисперсияда а-ға тен болады.

Теория бойынша мүмкін мәндер жиыны саналымсыз болатын кездейсоқ Х шамасы үздіксіз деп аталады. Үздіксіз шама үшін онын бөлек мәндерінін пайда болу ықтималдығы тұралы айтудын мәні жоқ. Бірақ-та біз кездейсоқ Х шамасы жеткілікті аз интервалда жатқан мәнді қабылдай алады деп айта аламыз. Егерде кез-келген х үшін f(x) көбейтіндісі (х, х+ ) кесіндісінде үздіксіз кездейсоқ Х шамасынын мәндерінін тию ықтималдығына тен болатын f(x) функциясы бар болса, онда f(x) осы кездейсоқ шаманын үлестіру тығыздығы деп аталады.

Ф(Х)= функциясы кездейсоқ Х шамасынын үлестіруінін интегральды функциясы деп аталады, Ф(Х) кездесоқ Х шамасы х-тан аспайтын мәнді қабылтайтын ықтималдығын көрсетеді. Егерде бізді кейбір белгіленген (a,b) интервалына кездейсоқ шама мәнінін тиюінін ықтималдығы ыңталандырса, бұл ықтималдық тен болады.

Интегральды функциянын үлестіру түсінігі дискреттік кездейсоқ шама үшін де енгізілуі мүмкін. Мұнда

Үздіксіз кездейсоқ шаманын математикалық күтімі және дисперсиясы сәйкес формулалармен аңықталады:

Бұл шамалардың бағасы экспериментальдық берілгендер негізінде ( ) - () формулалары бойынша жүргізіледі.