3. Ньютонның интерполяцияланған формулалары негізінде сандық дифференциалдау.

функция үшін оның тең түйіндері үшін Ньютонның бірінші интерполяциялық көпмүшелігін жазайық (14-ті қара):

Осы полиномдағы барлық жақшаларды ашып, оны басқаша

б ылай жазамыз.

Осы теңдікті бойынша дифференциалдасақ (5.9) формула сияқты

(14) формуланы аламыз.

Осы сияқты жолмен функция үшін оның жоғары ретті туындыларын табудың формулаларын алуға болады. Бірақ, функциясының кезелген нүктесіндегі туындысын тапқанда үшін сол жақ түйінге жақын нүктені алу керек.

Егер -тің мәні кестедегі түйінмен сәйкес келсе (14) формула әжептәуір қарапайым түрге көшеді. Бұл жағдайда әрбір түйінді бастапқы түйін деп есептеуге болады, яғни осыған сәйкес , деп алсақ (14) формула

(15)

формулаға көшеді.

Бұл формула кесте арқылы берілген функциялардың туынды-ларының мәндерін оңай және дәл табуға мүмкіндік тудырады.

Осыны көрсету үшін туындысы әдеттегі әдіспен оңай табылатын бір функцияны мысалға келтірейік.

Мысал. функциясының нүктедегі мәнін 5.3 кестені пайдаланып табу керек. Мұнда ;

3 кесте

x
32	5.657	88	-2	1	-1
33	5.745	86	-1	0
34	5.831	85	-1
35	5.916	84
36	6.000

(15) формуланы кестенің бірінші жолында берілген мәндерге қолданып (үшінші ретті айырымды қоса алғанда)

болатынын көреміз. Енді функциясының әдеттегі формула бойынша нүктедегі мәнін табайық, сонда

Есептеулер нәтижесіндегі шыққан мәндердегі үтірден кейінгі екі мәннің дәл келетінін көреміз.

Дифференциалдау қателігінің формуласын қорыту үшін 5.3 пункттегі әдісті пайдаланамыз. (10) формуланы Ньютонның интерполяциялық көпмүшелігіне қолдансақ:

теңдік аламыз, мұндағы мән түйіндер мен берілген нүктесінің арасындағы әйтеуір бір кезкелген мән. функциясы рет дифференциалданады деп есептеп. Дифференциалдау қателігін бағалауға арналған ((5.11)формула сияқты )

(16)

формула аламыз.

Осы қателікті кестенің бір түйіні үшін есептесек ( және болғанда)

теңдікті аламыз.

Мұнда болғанда болатыны ескерілген.

Практикада -ді бағалау қарапайым бола бермейді, сондықтан аз болғанда

деп есептейміз, сонда дифференциалдау қателігін бағалау үшін

жуық формула аламыз.

Дәрістер: №12-13. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері

Жоспар:

1. Есептің қойылуы.

2. Рунге - Кутта әдісі.

3. Коши есебінің қойылуы.

4. Эйлер және Эйлер-Коши әдістері.

Кілттік сөздер: дифференциалдық теңдеулер, Коши есебінің мәні. Аналитикалық, графикалық және сандық әдістер

1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер дегеніміз-бірінші ретті теңдеулер болып табылады. Классикалық анализде дифференциалдық теңдеудің шешімін элементарлық және арнайы функция арқылы табудың көптеген тәсілдері берілген. Бірақ, Зертханалық есептерді шешкенде бұл әдістердің кейде тіпті көмегі болмайды, яғни олардың шешімдері рұқсат етілмейтін шешімдер болады. Сондықтан Зертханалық есептерді шығаруға арналған дифференциалды теңдеулерді жуықтап шешудің әдістері ұйымдастырылған.

Бұл әдістерді формасына қарай үшке бөлуге болады:

1. Аналитикалық әдіс.

2. Графикалық әдіс.

3. Сандық әдіс.

түріндегі бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеудің шешімі, жоғарыдағы әдістердің бірімен қарастырылған. Ол n-ші ретті дифференциалдық теңдеуі де қамтиды:

, сондықтан, коши есебінің мәні- бастапқы шартты

, қанағаттандыратын шешімді табуда болып табылады. Мұнда, -берілген сан болса, онда оларды бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтіруге болады.

Мысалы: Екінші ретті дифференциалдық теңдеуді

бірінші ретті екі теңдеулер жүйесі түрінде жазуға болады, яғни

; жоғарыда аталған тәсілдермен шешімдерін зерттеңіз.

2. Рунге - Кутта әдісі бойынша дифференциалдық теңдеуді шешу программасын құру керек. Ол үшін,

Осы формуладан шығатын сипатталған алгоритм қадамдарын атап өтейік:

1. бастапқы шартты енгізу және оларды сәйкесінше А және В деп белгілейміз,

2. h интегралдау қадамын және интегралдау кесіндісіндегі ең соңғы В нүктесін енгіземіз,

3. х бойынша А нүктесінен В нүктесіне дейін h қадаммен қайталану орындалады, 4. х пен у басылымға беріп шығару керек,

5. есептеу керек, 6. есептеу керек,

7. жаңа мәнді есептеу керек;; 8. х бойынша циклдың соңы.

Алгоритмдерді пайдаланып, Рунге - Кутта әдісі бойынша дифференциалдық теңдеуді шешу программасын құрып, ЭЕМ-де нәтижесін алу қажет.

Эйлер-Коши есебін шешудің сандық әдістері

Эйлер әдісі негізінде дифференциалдауда - графикалық құру арқылы дифференциалдық теңдеудің шешімін табу идеясы жатыр. Сонымен қатар, бұл әдіс бір мезгілде ізделінді функцияны табудың сандық тәсілін кестелік түрде береді. Эйлер әдісі өте аз дәлдікті қамтиды. Эйлер - Коши әдісі есептеудің келесі ретін ұсынады:

Мұның геометриялық мағынасы бастапқы нүктесінде және қосымша нүктеде интегралды қисықтың бағытын анықтаймыз дегенді білдіреді, ал қорытынды ретінде осы бағыттардың орташасын аламыз.

Эйлер әдісінің алгоритмі:

Эйлер әдісі

x, y, h, b енгізу

х, у шығару

y:=y+hf(x, y)

ия

жоқ

x:= x+h

Осы алгоритмді пайдаланып, программасын Эйлер әдісі бойынша құрып, ЭЕМ-де нәтижесін алуға болады. Осы құрылған программаны Эйлер-Коши әдісі үшін құрылған программаға оңай түрлендіруге болады. Тақырып бойынша қажетті мағлұматтарды сандық әдістер оқулығынан қарап пайдалануларыңызға болады.

Дәріс №14-15. Тәжірибелік мәліметтердің статистикалық өңделуі.

Жоспар

1. Статистикалық есептеудің мақсаты

2. Биноминаль үлестіруі.

3. Пуассон үлестіруі.

4. Нормаль үлестіру

5. Гамма үлестіру.

1. Статистикалық есептеудің мақсаты

Есеп белгілі бір жиынтықтың элементтерін сипаттайтын берілген сапалы және санды белгіні (признак) зерттеуден тұрады. Қарастырылатың жиынтықта барлық объектілердің жиынтығы бас немесе генеральды жиынтық деп аталады. Генеральдық жиынтықтын элементтерінің сандары жеткілікті үлкен болуы мүмкін. Генеральдық жиынтықтан кездейсоқ түрде алыңған бөлікті таңдалмалы жиынтық деп атайды (таңдама).

Статистикалық есептеудің мақсаты әдетте таңдалмалы жиынтықтың сипаттамасы бойынша алғашқы генеральдық жиынтықтың қасиеттері олардың ұқсастықтары және ерекшеліктері жәйлі айтудан тұрады.

Экспериментальды берілгендердің терімі n саннан тұрсын делік x₁, x₂, . . . x_n , бұл жиын үшін арифметикалық орта келесі формула бойынша аңықталады: (1)

Егерде берілген терімде әрбір х_i-ші (i=1,2,...,n) мән n_i рет кездессе, ал N арқылы белгіленсе, онда (2)

Зерттелінетін сандар терімнің (массивтін) элементтері орта мәнге салыстырмалы әрқалай орналасқан. Осылайша, екі массивтін 14, 15, 16 және 2,3,40 арифметикалық ортасы бірдей -15.

Бірақ бірінші массивте элементтер орта мәнге жақын орналасқан, ал екінші массивтің элементтері орта мәннің манайыңда маңызды таратылған. Массивтін элементтерінің орта мән аймағында таралу (шашырау) дәрежесің таңдамалы дисперсия сипаттайды. Дисперсия келесі формула бойынша есептелінеді:

(3)

немесе (4)

Орта мән (2) формула бойынша дисперсия үшін келесі формалалар сәйкес келеді: (7,35) – (5), (7,36)- (6)

Орта квадрат ауытқу деп түбір астындағы дисперсия аталады: S= (7)

Орта квадрат ауытқу алғашқы массивтің элементтерінің өлшеміне сәйкес келеді. Бұл әртүрлі шамалардың таралу дәрежесің салыстыруға мүмкіндік бермейді. Сондықтан оқылатын шамалардың өлшеу бірлігіне тәуелсіз өзгермелік өлшемі қажет. Мұндай өзгермелік өлшемді вариация коэффициенті (С) көрсетеді. С орта мәннен алынған процентпен көрсетілген квадраттық ауытқуға тең: (8)