2. Ньютон (жанама) әдісі

Бұл әдістің хордалар әдісінен айырмашылығы -ншы итерацияда хорданың орнына қиыстығына нүктелерінде жанама жүргізіледі, сонымен бірге Ғ(х)=0 (1) теңдеудің, түбірі орналасқан кесіндісін табу қажет емес, оның орнына түбірдің алғашқы жуықтауы болатын санын алу жеткілікті.

функциясына координаталары және болатын нүктелерінде жүргізілген жанаманың теңдеуі

(2) болатыны белгілі.

Осы теңдеу бойынша ізделінді түбірдің келесі жуықтауы жанаманың осімен қиылысу нүктесі ретінде

(3)

қатыс арқылы табамыз.

Осы сияқты келесі жуықтаулар да т.с.с нүктелерде жүргізілген жанамалардың осімен қиылысыу нүктелері ретінде табылады. Сонда -ші жуықтаудың формуласы

(4)

болады. Сонымен бірге болуын да қарастыру керек. Итерациялық үрдісінің аяқталуы үшін шарттың орындалуы немесе екі қатар тұрған жуықтаулардың өте жақын орналасуы, яғни шарттың орындалуы қажет. Сонымен (3) формуладан, Ньютон әдісін қолданғанда есептеулердің көлемі бұрын қарастырылған әдістерге қарағанда көбірек болады, себебі әрбір нүктеде функциясының мәнін ғана емес оның туындысының да мәнін табу керек болады, бірақ Ньютон әдісін қолданғанда, басқа әдістерге қарағандағы жинақтылығының жылдамдығы көп болады.

3. Қателіктерін бағалау.

Енді Ньютон әдісінің жинақтылығы мен оны қолдану туралы кейбір мәселерге тоқтала кетейік.

Бұл жағдайда төмендегі теорема орынды.(оны дәлелдеусіз келтіреміз)

Теорема. Айталық (1) теңдеудің түбірі, болсын, яғни , ал болып үздіксіз бомын. Сонда түбірді қамтитын облыс табылып, егер осы облыста жатса, онда Ньютон әдісімен табылған мәндердің тізбегі да нүктесіне жинақталады.

Сонымен бірге қателік үшін

қатынас орынды болады.

Бұл қатынас әрбір итерацияда қателіктің квадрат дәрежеге шығарылады, яғни түбірдің ойдың белгілерінің шынайы саны екі еселенетінін көрсетеді. Егер

болса, онда болғанда бес- алты итерациядан кейін қателік дей болады.

Бұл қазіргі заманғы дәлдігі екі есе артқан ЭЕМ - дердегі қателіктердің ең кіші мүмкін мәні болып есептеледі. Ал осындай дәлдікпен есеп шығару үшін кесіндіні қақ бөлу әдісін қолданғанда итерациялардың саны 50- ден артық болар еді.

Ньютон әдісін қолданудағы бір қиындық бастапқы жуықтаудың облысында жатуын қамтамасыз ету болып табылады.

Сондықтан кейде қосарланған әдісті қолдану тиімді болады, яғни алдымен жинақты болатын бір әдіс ( мысалы, кесіндіні қақ бөлу әдісі), ал бірнеше итерациядан кейін тез жинақталатын Ньютон әдісін қолданамыз.

Дәріс №4. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің сандық есебі. Гаусс әдісі.

Жоспар:

1. Сызықтық жүйелер. Сызықтық жүйелерді шешу әдістері

2. Айнымалыларды біртіндеп жоюдың Гаусс әдісі

3. Тікелей және кері жүріс

Кілттік сөздер: сызықтық теңдеу, итерация, сызықтық жүйелер, Гаусс әдісі

Көптеген ғылыми-техникалық есептердің нәтижелі шешімін алу сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімін дәл және жылдам алуға байланысты.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін сандық әдістермен шешудің екі әдісі бар:

1. Тікелей немесе дәлдеп шешу.

2. Итерациялық (жай қайталау) немесе жуықтап шешу.

Тікелей әдіс. Бұл әдіс арифметикалық амалдардың соңғы жағында теңдеулер жүйесінің не беретіндігімен сипатталады. Егер қолданылатын амалдар дәл қатесіз орындалатын болса, онда берілген теңдеулер жүйесінің шешімі де дәл болады. Тікелей әдіске: крамер әдісі, айнымалыларды біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі ) және ортогональдау әдістері жатады. Тікелей әдіс практика жүзінде теңдеулер жүйесін дәрежелі -нен аспайтындай жағдайда қолданылады.

Жай қайталау әдісін - жуықтап есептеу әдісі деп аталатын жуықтау әдісіне: Зейдель әдісі, градиенттік әдіс және олардың модификациясы жатады.

Бұл әдісті практикада дәрежесі -нен аспайтындай жағдайда қолданылады.

Сызықтық жүйелер. Сызықтық жүйелерді шешу әдістері

Математиканың көптеген салаларында шығарылатын есептердің көбі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге әкеледі. Сызықтық теңдеулер жүйелерін сандық әдістер арқылы шешудін көптеген әдістерін тура әдістер және итерациялық әдістер деп екі топқа бөлуге болады. Сызықтық теңдеулер жүйесін тура әдістермен шешкенде шекті қатыстар (формулалар) қолданылады. Олар бойынша шешімді табу саны белгілі операциялар арқылы орындалады. Бұл әдістер салыстырмалы түрде қарапайым және әмбебап болады да, жүйелердің көптеген түрлерін шешуге тиімді болады. Барлық амалдар қатесіз орындалатын болса, онда шешім де дәл табылады. Тура әдістерге жоғары алгебра курсынан белгілі Крамер әдісі, белгісіздерді біртіндеп жою (Гаусс әдісі және оның әртүрлі модификациялары: бас элемент әдісі, квадрат түбір әдісі, шағылу әдісі) әдісі, ортогонализациялау әдісі жатады, сонымен олар арқылы сызықтық жүйелердің көптеген кластарын шешуге болады.

Сонымен бірге тура әдістердің кемшіліктері де жоқ емес. Тура әдістерді ЭЕМ –де қолданғанда оперативтік жадта тұтас матрицаны сақтау керек болады, сөйтіп өте үлкен болғанда жадтың көп бөлігін қамтиды. Тура әдістер матрицаның құрылымын ескермейді. Тура әдістердің негізгі кемшілігі – ондағы қателіктердің жинақ-талуы болып есептеледі. Себебі, кейін орындалатын амалдар алдыңға амалдардың нәтижелеріне негізделеді. Бұл өте көлемді жүйелерді шешкенде амалдардың санының артуына қарай, нашар жағдайластырылған жүйелерді шешкенде ыңғайсыз.

Осыларға байланысты тура әдістер кішігірім жүйелерді шешкенде және анықтауыштарын нольге онша жуық емес жүйелерді шешкенде ғана пайдаланылады.

Сонымен бірге тура әдістерді кейде дәл әдістер деп те айтады, өйткені шешім жүйенің коэффициенттері арқылы өрнектелетін дәл формулалар бойынша табылады. Бірақ дәл шешімді машинаның разрядтық орындары шексіз болғанда ғана алуға болады, ал бірақ ЭЕМ-дердің разрядтық орындары шексіз емес екені түсінікті.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісі

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің, сандық әдіспен шешудің ең қарапайым әдістерінің бірі, белгісіздерді біртіңдеп жою әдісі, оны біз Гаусс әдісі деп атаймыз. Бізге мынандай теңдеулер жүйесі берілсін:

(1)

Бұлардың шешімін анықтау үшін деп аламыз. Яғни бұл коэффициентің бірінші қадамның бастапқы элементі деп аталады. (1) – ші тенделер жүйесі (1)-ші қатарда осы элементіне бөле отырып, келесі теңдеуді аламыз, яғни:

(1’)

Мұндағы:

(2)

(1’) теңдеу арқылы (1)-ші теңдеулер жүйесі берілген, барлық х₁ – белгісіздерін шығарамыз, ол үшін 2,3,4,..., ші жолдардың берілген теңдеудің (1)-ші жолымен алып тастап соған сәйкес осыған көбейтіп отырамыз. Бұл түрлендірулер арқылы біз келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

(3)

Мұндағы:

Мынандай етіп алып, бастапқы элементі ретінде, оны (2)-ші жүйенің (1)-ші жолының коэффиценттеріне бос мүшелерін бөліп келесі теңдеуді аламыз. Мұндағы:

Осы процесті жалғастыра отырып келесі теңдеуді аламыз:

(4)

М ұндағы: ; (5)

(6)

(6) – ші теңдеулер жүйесінен - нен бастап -ге дейінгі белгісіздерді анықтаймыз. Сонымен Гаусс әдісі:

1). (1) – ші теңдеулер жүйесін құруға;

2). Белгісіздердің әрбір мәндерін жекелеп табуға алып келеді.

Дәріс №5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістері

Жоспар:

1. Қарапайым итерация әдісі.

2. Сығып бейнелеу принципі.

3. Қарапайым итерация әдісінің жинақтылығының жеткілікті шартының теоремасы.

Кілттік сөздер: Итерациялық әдістер, Сығып бейнелеу, принцип, метрика, метрикалық кеңістік

Итерациялық әдістерді біртіндеп жуықтау әдістері деп қарастыруға болады. Итерациялық әдістерді қолданғанда әдетте алғашқы жуықтауды анықтау керек болады. Одан кейін итерация деп аталатын есептеулер циклы орындалады. Итерация нәтижесінде жаңа жуықтау алынады. Осындай итерациялар белгілі бір дәлдік-пен табылған шешуді тапқанға дейін жалғастырылады.

Итерациялық әдістерді пайдаланып сызықтың жүйелерді шешу тура әдістерге қарағанда күрделірек. Өйткені, есептеулер көлемін алдын-ала білу мүмкін емес.

Дегенмен итерациялық әдістер дәл әдістерге қарағанда тиімдірек, себебі итерациялық әдістерді қолдану бүкіл матрицаны жадта сақтауды талап етпейді, оның есептеулерге қажет бөліктерін ғана сақтауды керек етеді. Кейде матрицаның элемменттерін сақтамай-ақ оларды есептеу үрдісінде есептеп шығара береді. Итерациялық әдістерді пайдаланған кезде түпкі нәтижелерге қателіктер жинақ-талмайды, өйткені әрбір итерациядағы есептеу дәлдігі алдыңғы орындалған итерацияға тәуелді болады және алдыңғы ретте жүргізілген есептеулерге тәуелсіз болады. Итерациялық әдістердің осы айтылған ерекшеліктері оларды теңдеулер саны көп болатын және нашар жағдайластырылған жүйелерді шешуге тиімді түрде пайдалануға мүмкіндік береді. Бұл жерде кейде итерацияның өте жай жинақталатын жағдайларын да ескеру қажет, ондай жағдайда оның тиімді жолдары іздестіріледі.

(1) жүйені келесі түрде жазайық:

(2)

Оны қысқаша (3)

түрде жазамыз. (3) теңдіктердің оң жағы (4)

түрдегі бейнелеуді береді. бейнелеу өлшемді кеңістіктегі нүктені сол кеңістіктегі нүктеге түрлендіреді.

(3) формулаларды пайдаланып және бастапқы нүктені алып өлшемді кеңістіктегі нүктелердің ( скаляр теңдеудегі итерациялық әдіс сияқты) тізбегін аламыз.

(5)

Жай итерация әдісін қолданып берілген жүйені шешкенде (5) тізбектің жинақты немесе жинақсыз болатындығын анықтау керек болады. Ол үшін( ) математикалық анализ курсынан белгілі кейбір мәселелерді еске түсіре кетейік .

жиынының және элементтері үшін анықталған функция төмендегі шарттарды :

1)

2) болғанда ғана , тек сонда ғана болады.

3)

4) элементтер үшін қанағаттандырса , онда функцияны метрика деп атаймыз . Ал осылайша анықталған метрикамен қоса алғанда жиынын метрикалық кеңістік деп атаймыз.

Егер метрикалық кеңістіктің нүктелерінің тізбегі үшін санына сәйкес сан табылып , болатындай барлық сандар үшін теңсіздік орындалса , метрикалық кеңістіктің нүктелерінің тізбегі фундаменталь тізбек деп аталады.

Егер метрикалық кеңістіктегі кезкелген фундаменталь тізбек жинақты болса , онда кеңістікті толық кеңістік деп атаймыз.

бейнелеу метрикалық кеңістікте орындалатын бейнелеу болсын , пен кеңістіктің нүктелері , ал осы нүктелердің бейнелері болсын .

Егер болатындай саны табылып , кеңістігінің және екі нүктесі үшін

(6)

теңсіздік орындалса , онда кеңістікті өзіне -өзін бейнелейтін бейнелеу сығып бейнелеу деп аталады.

Егер кеңістіктің нүктесі үшін теңдік орындалса , онда

нүктені бейнелеудің козғалмайтын нүктесі дейміз.(3) жүйеге қатысты қозғалмайтын нүкте деп оның шешімін айтамыз.

Сызықтық теңдеулер жүйесін жай итерация әдісімен шешуде төмендегі теорема маңызды роль атқарады.

Сығып бейнелеу принципі. Егер толық метрикалық кеңістіктегі сығып бейнелеу болса , онда теңдік орындалатындай бір ғана қозғалмайтын нүкте табылады. Сонда бастапқы мүшесі болатын бейнелеу үшін құрастырылған итерациялық тізбек нүктесіне жинақты болады деген сөз .

Бейнелеудің жылжымайтын нүктесі мен жуықтаудың ара қашықтығын бағалау

(7)

формула арқылы орындалады. (7) баға сығып бейнелеу принципін дәлелдеу барысында алынады. Егер -ші жуықтауды нолінші жуықтау деп есептесек , ал -ншы жуықтауды бірінші жуықтау ретінде алсақ , онда (7) формуланың орнына (8)

формула аламыз. Мұндағы сығу шартынан шығатын көбейткіш .

Сөйтіп , сығып бейнелеу принципін пайдаланып (4) жүйені шешкенде (5) қатыстармен берілген бейнелеу сығып бейнелеу болатынын көрсету жеткілікті . Осылай болған жағдайда итерация әдісін (4) тиісті шешуге қолдануға болады, сонымен бірге ол шешім бастапқы жуықтау кезкелген болғанда берілген дәлдікпен табылады.

Итерациялық үрдістің жинақтылығының жеткілікті шарты.

(4) бейнелеудің жинақты болу шарттарын қарастырайық. (8) анықтамадан бұл мәселенің шешімі кеңістіктің метрикасы тәуелді болатынын көреміз. Айталық мен нүктелер өлшемді кеңістіктің нүктелері болсын .

Итерация әдісін практика жүзінде пайдаланғанда

а) (9)

б) (10)

в) (11)

метрикалардың біреуін қолдану тиімді .

Жаттығу. Жоғарыда көрсетілген үш метриканың кезкелгенін енгізгенде кеңістік толық метрикалық кеңістік болатынын көрсетіңдер. Осы метриканың үшеуінің кемінде біреуі енгізілген (5) бейнелеудің сығып бейнелеу болуының шарттарын қарастырайық . Бұл шарттар түптеп келгенде (4) жүйенің белгісіздерінің коэффициенттері арқылы өрнектеледі:

Сөйтіп, метрикалық кеңістікте (5) теңдеулермен берілген бейнелеудің сығып бейнелеу болуы үшін а) метрикасы бар кеңістікте

(12)

болуы, яғни (4) жүйенің оң жағының белгісіздерінің коэффициенттерінің модульдерінен жолдар бойынша алынған максималь қосындысы бірден кіші болуы керек .

б) метрикасы бар кеңістікте (13)

болуы , яғни (4) жүйенің оң жағының белгісіздерінің коэффициенттерінің модульдерінен бағандар бойынша алынған максималь қосындысы бірден кем болуы керек

в) метрикасы бар кеңістікте

(14)

болуы, яғни (4) жүйенің оң жағындағы белгісіздердің барлық коэффициенттерінің квадраттарының қосындысы бірден кем болуы керек. (12)-(14) шарттарды қорытып шығару оңай. Мысал үшін (12) шартты қорытуды қарастырайық.

және

нүктелер үшін (5) бойынша теңдік аламыз. Одан абсолют шаманың қажеті бойынша (15)

теңсіздіктер аламыз.

Егер (15) теңсіздіктердегі әрбір модульді мәнмен ауыстырсақ онда ол теңсіздіктер күшейе түседі , яғни

теңсіздіктер аламыз.

-ті тұрақты шама ретінде қосынды таңбасының алдына шығаруға болады, ал қосындыны оның максималь мәнімен ауыстырамыз , сонда

, (16)

теңсіздік аламыз. (16) теңсіздік барлық дер үшін дұрыс болатындықтан, ол болатындай үшін де дұрыс болады. (17)-формуланы (16) – формуламен салыстыру нәтижесінде (12) -ні аламыз.

(12) –(14) шарттардың әрқайсысы (5) бейнелеудің сығып бейнелеу болуының жеткілікті шарты болатынын ескерте кетейік. Сонымен бірге (15) шарттардың әрқайсысы (5) бейнелеудің ( метрикасы бойынша) сығып бейнелеу болуының қажетті шарты да болады.

Дәрістер №6-7. Сызықтық программалау есебі.

Жоспар:

1. Есептің қойылуы

2. Сызықты программалау есебін шешу жолдары.

3. Симплекстік әдіс

.

Кілттік сөздер: Оптимизация, сызықтық программалау, симплекстік әдіс

Сызықтық программалу – математикалық анализдің әдістері жарамсыз келетін, есептің ең үлкен және ең кіші мәндерін іздейтін есептеумен айналысатын математиканың бөлімі. Осыған қатысты төмендегіше есептерді қарастырайық:

Есеп 1.

Фермадағы жануарларды жемдеу үшін, олардың күндлелікті жейтін жемінің құрамына 33-тен кем емес А-заты, 23-бірліктен тұратын В-заты және 12 бірліктен тұратын С қоректену заттары кіру керек. Оларды жемдеу үшін жемнің 3 түрі қолданылады. Әрбір жануарға қажетті А,В және С қоректік заттардың ең арзан болатын рационын құру талап етіледі.

Айталық, Х₁,Х₂,Х₃- күнделікті рационға кіретін I,II және III жем түрлерінің саны.Онда

4х₁+3х₂+2х₃≥33,

3х₁+2х₂+х₃≥23

Х₁+х₂+2х₃≥12.

Жүйесі орындалу керек.

F=20х₁+20х₂+10х₃ сызықтық функция ең кіші мән өқабылдау керек.

Есеп 2.

С₁ және С ₂ тауарлық станцияларынывң әрқайсысында 30-дан жиһаздар жиыны бар болсын. С₁ стнациясынан бір жиынды М₁, М₂, М₃, дүкендерінде алып бару үшін 1,2,3, ал С ₂ станциясынан сол дүкендерге алып бару үшін 2,5,4$ қаржы кетеді. Әрбір дүкенге жиһаздың 20 комплектілік жиынын алып бару керек. Осы көшірулердің жоспарына кететін қаржы ең аз болатындай құру қажет.

3.4 кесте

Базистік белгісіздер	Бос мүшелер	Х1	Хi	х3	Х4	Х5
→ х1	2	1	0	0	-1	1
х2	7	0	1	0	2	3
х3	1	0	0	1	1	-2
F формасы	3	0	0	0	-1	2

С₁ станциясынан М₁, М₂, М₃,дүкендеріне алып баратын жиһаз жигнақтарын Х₁,Х₂,Х_3деп, ал станциясынан Х₄,Х₅,Х₆ деп белгілейміз.

Көшірулердің құрылымы 2.3 кестеде көрсетілген.

Х_i≥0 (і =1,2,...,6) есептің шартына сәйкес болу керек.

Сызықты программалау есебін шешу жолдары.

Айталық, (3.1-3.3) сызықтық программалу есебі өқойылсын. (3.1) жүйенің теріс емес шешімдерінің ішінен минимумделген (3.2) мақсатты функцияның шешімін табу керек.

Берілген шектеулі жүйе қандайда бір r белгісізінің айнымалылары басқалары арқылы өрнектелген түрде түрлендіріледі деп есептейік:

(1)

Мұндағы, (2)

х₁, х_2,...,х_r белгісіздерді базисті белгісіздер, ал қалғандары базисті емес немесе бос белгісіздер деп аталады.

Белгісіздердің жиынын базис Б={х₁, х_2,...,х_r } деп атаймыз.

f мақсатты функциясы болса, осы функцияны бос белгісіздер арқылы (1) түрдегі өрнектерді берілген мақсатты функцияның базисті белгісіздердің орнына қойып былайша көрсетуге болады:

(3.6)

Х_i(і=r+1, r+2,…,n) барлықұ боос белгісізедрі нолге тең деп алайық, онда(3.4) жүйедегі х₁₌ болады. (3.3) теріс еместігі жөніндегі шарттардың орындалуынан (3.5)мағынансын арттыратын (3.4) жүйенің бір шешімін алдық:

( ₁, ₂,…, _r,0,0…,0)

Осы шешім мүмкін болатын шешім деп аталады.

Бұл шешім үшін f= мақсатты функцияның мәні Б басзис сәйкес келеді. Сызықты программалау есебін шешу әдісінің негізгі идеясы f- тың жаңа мәні азаятындай Б базисінен жаңа Б^’ базисіне өтуінен тұрады:

болғанда ғана

Нәтижесінде f функциясының минимумын беретін базиске өтуге немесе есептің шешімі жоқ екендігін анықтауға болады. Б базисінен бір белгісізді алып тастап, оның орнына қандай да бір бос белгісізді енгізу арқылы жаңа Б^’ базисіне өту орындалады. Бұл түрлендірулер (1) жүйенің аусуымен байланысты. Жаңа базис оған сәйкес базистік шешім және бұл шешімге сәйкес мақсатты функцияның мәні, осылардың барлығы түрлендірулердің әр кезеңіне сай шешімі болады.

Симплекстік әдіс- деп аталатын сызықты программалау есебін шешудің негізгі мазмұны ретінде жоғарыдақарастырылған ешу жолдары алынады. Бұл әдіспен нақты мысалды таодау арқылы танысамыз.

Мысал 3.2.1.

F=3+x₄-2x₅ мақсатты фунекция және (3.4) түрінде шектеулі жүйе берілген:

Х₁ =2+x₄-x₅

х₂=-2x₂-x₅, (3.8)

х₃₌1-x₂+2x₅

(3.7) функцияны минмумдайтын жүйенің теріс емес шешімін табу керек. Х₁,Х₂,Х₃белгісіздері (3.8) жүйесінде базис құрайды x₄=x₅=0 дегенді қабылдапмақсатты ) функцияның мәнін f=3 болатын сәйкес базистік шешімін аламыз:

( 2;7;1;0;0)

f-тің мәні х₄-тің мәнін азайтқанын немесе х₅-тің мәнін көбейткеннен кішірейеді. Х_{4 –}ті азайту мүмкін емес, себебі х₄=0 және бұл (3.3) теріс еместігі жөніндегі шартты бұзар еді. Әйткенмен х₅ –тің мәні бақылаусыз өзгерту Х₁,Х₂,Х₃ базистік білгісіздерінің мәнін көрсетеді. Бұл (3.8)-ге қатер болмайды, бірақ бірінші және екінші теңдіктердің мәнін тек 2-ге дейін үлкейтуге болатынын көрсетеді.

Х₅ =2 деп алайық, (3.8) жүйені пайдаланып және х₄ =0 ескеріп, мақсатты функцияның f=-1 мәні болатын жаңа шешімді аламыз.( 0;1;11;0;2).

Енді жаңа базисті Х₂,Х,Х₅ белгісіздері құрайды. (Х₁ белгісі Х₅ –тің орнына бос белгісіздерге өтеді). (3.7) жүйені сәйкесінше өзгерту үшін, бірінші теңдіктен Х₅ =2-х₁+х₄ –рнектеп аламыз7 Соден кейін бұны басқа теңдіктер мен мақсатты функцияныңөрнегіне алып барып қоямыз.

Жаңа мақсатты функция

f=-1-2x₁-x₄ (3.10)

мен x₁=1+3x₁-5x₄

x₂=5-2x₁+x_4, (3.9)

X₃=2-x₁+x₄

Шектеулі жүйені алдық.

Осымен процестің бірінші кезеңі аяқталды. Енді х₄ белгісінің мәнін үлкейту арқылы f- тің мәнін кішірейтуге тырысамыз. Сонымен бірге (3.9) жүйенің бірінші теңдігінен x₄ –тің мәнін көп дегенде 0,2 –ге дейігн үлкейтуге болады. Енді x₁=0 деп , x₄ = 0,2 жаңа шешімін аламыз:

(0;0;2,2;0,2; 2,2) (3.11)

Мүндағы f=-1,2 болады. Жаңа базисті x₄ Х₂,Х₃,Х₅ белгісіздері құрайды. )3.10) мақсатты функцияның өрнегіндегі x₁ –ді алып тастап, оның орнына x₂ енгіземіз. (3.9) теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінен x₄=0.2+0.6x₁+0.2x₂ аламыз, бұл f функциясы үшін жаңа өрнекті береді:

f=-1,2 +1.4x₁+0.2x₂

Бұл өрнектен f-тің мәні тек қана x₁ және x₂ белгісіздерінің азайту жолымен ғана кішірейте алаиындығын көреміз. (3,11) шешімнен x₁ = x₂ =0 және бұларды кішірейту теріс еместігі жөніндегі шарттфң бұзылуына әкеледі.

Сонымен есеп шеілді, яғни мақсатты функцияныңмәнін минимумдайтын (3.11) шешімі алынды.

Жоғарыда қаралстырылған процесс барлық кезде үйлесімді шешім алуға мүмкіндік бермейтіндігін ескеру керек. Кейбір сызықты программалау есептерін шешуде мақсатты функцияның шексіз кішірейуі теріс еместігі жөніндегі шартына кері әсер ететін жағдай бола алады. Бұл кезде функцияның минимумы жоқ екендігін және үйлесімді шешімі болмайтындығын көреміз.

Осындлай жағдайларға алып келетн шарттарды анықтау үшін симплекс әдісін жалпы түрде қарастырамыз.