Глоссарий

Сандық әдістер – қолданбалы математика бойынша мамандарды жалпы математикалық сауаттылыққа дайындауда ең негізгі фундаментальдық пәндердің бірі. Бұл пән – дәл мәнін есептеу мүмкін емес болған жағдайда жуықтап есептеу арқылы есептердің шешімін табуға арналған жоғары математиканың өте маңызды тарауы.

Талдау - бүтінді құрамды бөліктерге жіктеп талдауға негізделген ғылыми-зерттеу әдісі.

Математикалық модельдеу – дегеніміз практикалық есептердің шешуі дұрыс берілген мәліметтерден және есептің мақсаты қатаң түрде алынған математикалық ұғым түрінде сипатталуы және оның шартының нақты тұжырымдамасының жасалуы.

Эксперимент – кез-келген теориялық негіздеменің іс-жүзінде сынақталып оның не оң немесе қанағаттандырмайтын шешімінің анықталуын беретін ұғым.

Алгоритм - біртіндеп орындалған кезде белгілі бір мәселені немесе мәселелерлдің белгілі бір тобына кіретін кез келген мәселені шешуге мүмкіндік беретін нұсқаулардың ретімен орындалуы.

Технология – өндіріс процестерінде шикізаттарды өңдеу тәсілдері мен өнімдерді дайындау жолдарының өзара байланысты жүйесі.

Графиктік тәсіл – кез-келген функцияның кескіндеме түрінде бейнеленуі.

Мақсаттық функция – сызықтық программалау есептерін шешу барысында қолданылатын мәні теріс элементтерден немесе нөлдерден тұратын функция атауы.

Сызықтық программалау – математикалық анализдің әдістері жарамсыз келетін, есептің ең үлкен және ең кіші мәндерін іздейтін есептеумен айналысатын математикалық бөлімі.

Минимум мән – зерттелетін функцияның ең кіші мәні.

Максимум мән – зерттелетін функцияның ең үлкен мәні.

Итерациялық әдіс - жай қаталау әдісі немесе жуықтап шешу деген түсінікті

Базистік айнымалылар – сызықтық программалау есептерін шешу үшін табылатын айнымалылар тізбегі.

Интерполяция - жуықталған функцияның табылуы

Интерполяциялау түйіндері – жуықталған функцияның мәндерінің бір-біріне сәйкес келуі.

Аналитикалық тәсіл – есептердің жалпы формула түрінде берілуі.

Түбірді жекелеу – берілген функцияның шешімі жататын аралықты табу.

Дәрістер кешені

Дәріс №1. Кіріспе. “Сандық әдістер” курсы пәні оның мақсаты мен міндеттері . Қателіктер теориясы

Жоспар:

1. “Сандық әдістер” курсы пәні оның мақсаты мен міндеттері.

2. Қолданбалы есептерді шешу кезеңдері.

3. Есепті шешудегі қателіктердің классификациясы.

Кілттік сөздер: Сандық әдістер, математикалық модель, алгоритм, ЭЕМ.

1. “Сандық әдістер” курсы пәні оның мақсаты мен міндеттері.

“Сандық әдістер” пәні оның мақсаты мен міндеттері оның қажеттілігі, өзектілігі жөніндегі мәліметтер силлабустың бас жағында толығымен келтірілді.

Ғылым мен техниканың қарқындап дамуы және электрондық есептеу машиналарының (ЭЕМ) жоғары сапалы түрлерінің пайда болуы табиғаттағы зерттелетін құбылыстардың математикалық модельдері болып табылатын есептерді құрастыруды және оларды қойылған есептің шарттарына лайық етіп берілген дәлдікпен шеше білу мәселесін алға қойып отыр.

Сондықтан оларды әрбір ғылым саласына лайықты түрдегі мүмкіндіктеріне қарай пайдалана білу керек.

Қазіргі заманда ғылыми техникалық есептердің тиімді шешудің дәрежесі ЭЕМ-ді дұрыс қолдана білуге байланысты. Осы мақсат үшін қуатты және ыңғайлы жалпыға ортақ дербес үлкен және кіші электрондық машиналар ғана емес сонымен бірге сандық әдістерді есептеуге ыңғайлы жаңа өңделген құралдар баршылық.

Қалай болса да есептеу процесінің әрқайсысының өз қиындығы бар және соңғы нәтиженің ақиқаттығына ықпалын тигізетін бірнеше кезеңнен өтеді. Зертханалық есептердің шешуі дұрыс берілген мәліметтерден және есептің мақсаты қатаң түрде алынған математикалық ұғым түрінде сипатталуынан басталады. Шарттың нақты тұжырымымен шешудің мақсаты ол математикалық есептің қойылуы. Шешімнің бұл кезеңі математикалық модельдердің тұрғызылуы деп аталады.

2. Қолданбалы есептерді шешу кезеңдері.

ЭЕМ-ді қолдана отырып есептерді шешу жалпы жағдайда келесі кезеңді қамтиды:

• есептің берілуі;

• математикалық моделін құру;

• алгоритмдері өңдеп талдау;

• есептің алгоритмін жазу;

• программасын құру;

• ЭЕМ-де есептеп шығару;

• алынған нәтижені талдау.

Бұл кезеңдердің ішіндегі ең күрделісі және жауаптысы математикалық модельдерді құру болып табылады.

3. Есепті шешудегі қателіктердің классификациясы.

Есептеулер процесінде жуықталған сандармен жұмыс істеуге тура келеді. А-кейбір шаманың дәл мәні делік. Келешекте А санын дәл сан деп аталық. А шаманың жуықталған мәнін немесе жуықталған санын   делік, яғни А шаманың дәл мәнін ауыстыратын   санын жуықталған сан деп аталық.

Егер  <A болса, онда   санын А санының кемімен алынған жуықталған мәні деп атайды.

Егер   >A болса, онда   санын А санының артығымен алынған жуықталған мәні деп атайды.

Мысалы: 3,14 саны     санының  кемімен алынған жуықталған мәні болса, ал 3,15  сол      санының артығымен алынған жуықталған мәні болады. Осындай жақындаудың дәлдік дәрежесін сыйпаттау үшін "қателік” ұғымын пайдаланады.

                                                                                                                (1.1)

айырымын жуықталған    санының кателігі деп атайды. Мұнда А-сәйкес дәл сан.

Анықтама: Жуықталған   санның абсолюттік қателігі деп осы санның                   қателігінің абсолют  шамасын   айтады, яғни оны былай   жазады:

                                                                                                              (1.2)

Әдеттегідей дәл  А саны белгісіз болатындықтан “шекті абсолют қателік” ұғымын пайдаланады.

Анықтама. Жуықталған   санының шекті абсолют қателігі деп осы   санының абсолют қателігінен аз болмайтын санды айтады, яғни

                                                                                                                    (1.3) Ол сан бірмәнді  анықталмайды: оны өсіруге болады. Сонда  (1.3)-тен алатынымыз:

                                                                                                                      (1.4)

Демек,

                              ,                                       (1.5)

 

яғни   кемімен алған А санының жуықталған мәні, ал   – А санының артығымен алынған жуық мәні. (1.5) формуланы қысқаша былай жазуға болады:                                                                                                                                                                                 (1.6)

Практикада шаманың дәлдігін түсіну кезінде шекті абсолют қателігін пайдаланады. Мысалы, егер екі пунктің  S=900 м  тен арақашықтық 0,5 м дәлдікпен алынса, онда S шаманың дәл мәні             

                                           899,5 м < S < 900,5 м

шекаралықты алынатын болады.

Әдетте абсолют қателік ( ) екі-үш маңызды (значащие) таңбалы санмен жазады, ал маңызды таңбаларды санау кезінде сол жақтағы нольдер саналмайтынын естен шығармау керек.Мысалы: 0,004060 санында 4 маңызды таңба бар. 

Мысалы: Қандайда бір есептеу машинасына тек 3 маңызды таңбалы сандарды ғана енгізу мүмкін болсын.   онда  санын қандай дәлдікпен енгізуге болады. Шешімі:   деп алуға болады.

Жуықталған санның дәлдік дәрежесін сипаттау үшін абсолюттік немесе шекті абсолют қателік ұғымдары жеткіліксіз. Жуықталған сандардың дәлдігінің елеулі көрсеткіші олардың салыстырмалы  қателігі.

 Анықтама. Жуықталған   санының салыстырмалы қателігі деп  осы санның абсолют қателігінің сәйкес  дәл А санының модулына қатынасын айтады.

     Оны былай белгілейді:

                                                                              (1.7)   

      Анықтама. Жуықталған   санының шекті салыстрмалы қателігі  деп салыстырмалы қателіктен кем емес  санын айтады, яғни

                                                                                                                             (1.8)

Егер (7) ескерсек, онда (8) келесі түрде жазуға болады:

                                                                                                                       (1.9)

Демек, егер (1.3) пен (1.9) салыстырсақ, онда   санының шекті абсолют қателігі етіп келесі теңдікті жазуға болады:

                                                                                                                              (2.10)

Егер   етіп қабылдасақ, онда (2.10) формуласын былай жазуға болады:

                                                                                                                 (2.11)

Егер (2.11) теңдікті пайдалансақ, онда (2.5) теңсіздік келесі түрде түрленеді:

                                                  

немесе

                                                       (2.12)

Егер шекті салыстырмалы   қателік берілсе, онда (2.10) формула бойынша шекті абсолют   қателікті анықтауға болады.

Мысалы:  %

Жуық санның салыстырмалы қателігі ондағы дұрыс таңбалардың санымен байланысты, ал дұрыс таңбалардың саны (берілген) санның бірінші маңызды таңбасынан бастап оның абсолют қателігіндегі бірінші маңызды таңбаға дейінгі сандармен анықталады.

Дәріс №2. Бір белгісізі бар теңдеулерді шешудің сызықтық есебі. Түбірді жекелеу. Кесіндіні қақ бөлу

Жоспар:

1. Есептің берілуі.

2. Графиктік әдіспен түбірді жекелеу.

3. Аналитикалық әдіспен түбірді жекелеу.

4. Кесіндіні қақ бөлу әдісі

Кілттік сөздер: График, аналитикалық, механика, физика, жекеленген түбір

1. Есептің берілуі.

Бір белгісізі бар сызықты емес теңдеулерді шешу - қолданбалы математиканың, механиканың, физиканың және тағы да басқа аймақтардың әртүрлі бөлімдерінде туындайтын ең маңызды есептердің бірі болып табылады.

Сызықтық емес теңдеулерді жалпы жағдайда келесі түрде жазуға болады:

Ғ(х)=0 (1)

мұндағы, Ғ(х) функциясы [а; b] аралығында анықталған және үздіксіз. Кез-келген Ғ(х) функциясын 0-ге айналдыратын кесіндісінде саны табылып, сонда =0 болса, онда нүктесі (1) теңдеудің түбірі деп аталады.

Сандық әдістер пәнінде бір белгісізі бар теңдеулерді шешудің екі кезеңі бар:

1. Түбірлерді жекелеу;

2. Жекеленген түбірдің дәл мәнін белгілі бір әдіспен шешу.

1. Түбірді жекелеу дегеніміз - берілген теңдеудің түбірі жататын [a,b] кесіндісін анықтау. Теңдеудің түбірлерін табу - дегеніміз функцияның шеткі нүктелерін анықтау.Түбірді жекелеудің екі түрі бар:

2). Графиктік әдіс.

Берілген f(X) функциясының графигін сызамыз, сол аралықтан түбір жататын аралықты аламыз.

Егер f(х)-тің графигін салу күрделі болса немесе қиынға түссе, онда оны екі функция түрінде бөліп аламыз да, олардың жеке-жеке графиктерін саламыз. Содан соң олардың қиылысу нүктесін шешім ретінде қабылдаймыз (1-сурет).

Мысалы:

1-сурет. Күрделі функциядан түбір табу кескіні.

Көп жағдайда күрделі функциялардың шешімін табу үшін берілген F(x) функцияның мәнінің қай аралықта жатқандығын анықтау үшін графикалық тәсілді қолдану ыңғайлы. Бұл, көп жағдайда күрделі функцияларды шешу үшін қолданылады.

3) Аналитикалық әдіс.

Түбірді жекелеудің аналитикалық әдісі дегеніміз - формула түрінде берілген теңдеуді зерттеу арқылы түбір жатқан аралықты табу керек.

Аналитикалық әдісті зерттеу үшін: f(х)=0 теңдеуі беріледі, [а,b]-аралығында

f(а)*f(b)< анықтау керек.

1. F(x) Функцияның 1- ші ретті туындысын f'(Х)-анықтау керек.

2. f'(Х)=0 функциясының қауіпті нүктесін табу керек.

3. Осы қауіпті нүктесіндегі функцияның анықталу облысындағы таңбасын анықтау керек.

4. Функция таңбаларының кестесін анықтап олардың ара қашықтығын жиілету керек.

2. Жекеленген түбірдің дәл мәнін белгілі бір әдіспен шешу.

Атап айтатын болсақ: Бір белгісізі бар теңдеулерді шешудің сандық әдістеріне «кесіндіні қақ бөлу», «хорда», « жанама», «аралас» және «жай қайталау» әдістері жатады.

4) Дихотомия кесіндіні қақ бөлу әдісі.

1. Бізге f(х)=0 теңдеуі берілген.

2. f(х) - үздіксіз болсын.

3. ол екі рет туындалатын болсын, олар [а,b] - аралықтарында таңбаларын өзгертпесін. (1)-теңдеудің бір түбірі [а,b] аралықтарында жатсын. яғни осы аралықтың шеткі нүктелерінде f(х)-әр түрлі мән қабылдасын (2-сурет).

f(а)*f(b)<0

Бізге (1)-ші тендеудің -түбірін є-дәлдікпен анықтау керек.

Ол үшін берілген f(х)-функциясының шеткі нүктелерін алып, оны қақ бөлеміз. 1) Бізге керегі f(а)*f(b)<0 шарт орындалу керек;

2) Үздіксіз болу қажет;

3) f(х), f(х)-таңбаларын өзгертпесін,

f(а)f(b)>0

Біздің шарт орындалмайды, демек бізге керегі жоқ, онда лақтырып тастаймыз. Енді [а₁,b₁]-аралығын қарастырайық:

f(а₁)*f(b₁)<0.

2-сурет. Дихотомия әдісінің жалпы көрінісі

Осылай жүргізген амалымызды бірнеше рет қайталаймыз, қателікті есептейтін келесі процесс орындалғанша:

болғанша жалғастырамыз.

f(а_n)*f(b_n)<0.

Демек, кесіндіні қақ бөлу әдісінің жалпы формуласы келесі түрде беріледі:

бірақ, кесіндіні қақ бөлу әдісінің формуласын қолдана отырып есептер шығару үшін, төмендегі шарт міндетті түрде орындалу керек:

, мұндағы, -ді 0-ге барынша жуықтағанша жалғастырамыз.

Дәріс №3. Бір белгісізі бар теңдеулерді шешудің Хорда әдісі және жанама әдісі.

Жоспар:

1. Бір белгісізі бар теңдеулерді шешудің кесіндіні хорда және жанама әдістері, олардың геометриялық мағынасы.

2. Хорда және жанама әдістерін қолдана отырып берілген есептердің бағдарламасын құру және оны ЭЕМ-де жүзеге асыру.

3. Қателіктерін бағалау.

Кілттік сөздер: Хорда, жанама, формула, қателік

1. Бізге F(x)=0 теңдеуі берілсін. Осы F(x)-функциясының x-осімен қиылысқан жерлеріндегі түбірін табу керек, біздің графигімізде ол түбір А-арқылы көрсетілген.

3-сурет. Хорда әдісінің геометриялық кескіндеме түріндегі көрінісі.

Оны табу үшін функцияның шеткі нүктелері ММ* нүктелерін қосатын Хорда жүргіземіз. Осы хорданың х осімен қилысқан нүктесін D₁ деп белгілейміз де осы нүктеден Хорданы қосатындай у осіне параллель түзу жүргіземіз. Оны M₁ деп белгілейміз. Енді [M₀, M*]- нүктелерінен өтетін түзудің теңдеуін жазамыз.

Формуламен сәйкестендіру сіздерге тапсырма ретінде беріледі. Жалпы түрде бір белгісізі бар теңдеулерді хорда әдісімен шешудің жолы 3-суретте келтірілді.

мұндағы бұдан - ді табамыз. Сонда

Енді ]- нүктелерінен өтетін Хорданың теңдеуін жазамыз.

деп белгілеп алып, -ні табамыз да осы процесті жалғастыра береміз.

Енді тізбегінің шегін табамыз.

бұл Хорда әдісінің жалпы формуласы болып табылады. Бірақ, мұнда есептелінген -нің мәнінің дәлдігін қалайша бағалау мәселесі шешілмей отыр.

Бұл мәселені шешу үшін айырмасына шектеулі өсімшелер формуласын қолданамыз:

Мұнан

егер де қарастырылып отырған аралықта (оны алдын ала біржолата есептеп қоюға болады) -тің ең кіші мәнін m - мен белгілесек, онда былайша бағалауға болады:

Сөйтіп, шамасы бойынша да -нің түбірге қаншалықты жақындығын айтуға болады екен.