Тәжірибелік сабақтардың күнтізбелік-тақырыптық жоспары

5В010900 -«Математика» мамандығы үшін

№	Сабақтың тақырыбы және мазмұны	Сағат саны	Апта	Өткізу формасы
1.	Қателіктерді табу. Абсолюттік және салыстырмалы қателіктер.	1	1	ЭЕМ-де есептер шығарып, компьютерде нәтижесін көрсету.
2.	Сызықты емес теңдеулерді шешу. Графикалық әдіс. Кесіндіні қақ бөлу әдісі.	1	2	ЭЕМ-де есептер шығарып, компьютерде нәтижесін көрсету.
3.	Сызықты емес теңдеулерді шешу. Хорда (Қию) және Ньютон әдістері. Қателіктерді есептеу.	1	3	ЭЕМ-де есептер шығару
4.	Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін сандық әдістерімен шешу. Гаусс әдісі.	1	4	ЭЕМ-де есептер шығару
5.	Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін сандық әдістерімен шешу. Жәй итерация мен Зейдел әдістері.	2	5-6	ЭЕМ-де есептер шығару
6.	Сызықтық программалау есебін шешудің симплекстік әдісі.	2	7-8	ЭЕМ-де есептер шығару
7.	Функцияларды интерполяциялау. Лагранж және Ньютонның интерполияцияланған көпмүшелігі.	1	9	ЭЕМ-де есептер шығару
8.	Сандық дифференциялау	1	10	ЭЕМ-де есептер шығару
	Сандық интегралдау.	1	11	ЭЕМ-де есептер шығару
9.	Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебін сандық әдіспен шешу.	2	12-13	ЭЕМ-де есептер шығару
10.	Тәжірибелік мәліметтердің статистикалық өңделуі. Гиперболалық, параболалық және Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебін тор әдісімен шешу.	2	14-15	ЭЕМ-де есептер шығарып, компьютерде нәтижесін көрсету.
Барлығы:		15

Зертханалық жұмыстарға әдістемелік нұсқаулар

Зертханалық жұмыс №1. Қателіктерді табу. Абсолюттік және салыстырмалы қателіктер.

Шамалардың жуық мәндері жуық сандармен беріледі.

Сандық әдістер немесе есептеу әдістері пәндерінде алынған нәтижелердің барлығы жуық шешімдер деп аталады.

Тура шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады.

Қателіктер 3 түрге бөлінеді:

1. Әдіс қателігі

2. Шеттетілмейтін қателік

3. Есептеу қателігі

Әдіс қателігі берілген есепті шешу үшін таңдалған сандық әдістен тәуелді болады. Осыған байланысты әр әдістің қателігін бағалау формуласы әр түрлі болады.

Шеттетілмейтін қателіктер – есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер.

Есептеу қателігі жуық шешімдерді алу барысында қолданылатын математикалық есептеулер кезінде қолданылатын сандарды дөңгелектеуден тәуелді.

Қателіктер теориясындағы негізгі ұғымдар

Бұл қателіктердің өздері абсолютті және салыстырмалы ([3] қараңыз) болады.

1. Егер а саны – тура мән, а^* саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп - олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады: .

2. Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады: немесе .

3. Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.

4. Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса.

Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері

1. Қосынды қателігі. F(x)=x=x₁+x₂+x₃+…+x_n қосындысы берілсін.

a) қосындының абсолютті қателігі: .

Егер болса, онда , ал n>=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: .

b) қосындының салыстырмалы қателігі:

. Мұндағы , , .

2 Айырма қателіктері. X=x₁-x₂, x₁>x₂>0 болсын және азайғыш пен азайтқыштың жуық мәндері мен абсолютті қателіктері белгілі болсын.

a) айырманың абсолютті қателігі: .

b) айырманың салыстырмалы қателігі:

.

3 Көбейтіндінің қателіктері. X=x₁*x₂*…*x_n көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.

a) көбейтіндінің абсолютті қателігі:

.

b) көбетіндінің салыстырмалы қателігі: .

4 Бөліндінің қателігі: бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.

a) бөліндінің абсолютті қателігі: .

b) бөліндінің салыстырмалы қателігі: .

1- мысал: Берілген х санының дұрыс цифрлар санын анықтау керек болсын.

; .

Анықтама бойынша: шарты орындалса, 3 цифрын дұрыс цифр деуге болады. Шындығында 0,0025<0,05 екен, яғни 3 - дұрыс цифр. 9 цифрын тексерсек: 0,0025<0,005, яғни 9 цифры да дұрыс. Ал 4 пен 1 цифрлары үшін 0,0025<0,0005 және 0,0025<0,00005 болғандықтан, олар күмәнді цифрлар болады. Қорыта айтқанда үтірден кейінгі 3 және 9 цифрларын жоғалтпау керек, яғни санды 0,39 деп дөңгелектеуге болады, 0,4 деп дөңгелектесек дөңгелектеу қателігі өсіп кетеді. Санның дұрыс цифрлар саны төртеу.

2-мысал: ; берілген. Санның дұрыс цифрларын анықтау.

Анықтама бойынша: , яғни . Одан шығатыны: . Енді санның цифрларын тексереміз:

8 цифры - дұрыс, өйткені: .

9 цифры – күмәнді, өйткені: . Дәл осылай 2 және 1 цифрларының да күмәнді екенін анықтауға болады. Сонда а санының 2 цифры дұрыс.

3-мысал: Х=2,1514 санын 3 мәнді цифрға дейін дөңгелектеп, абсолютті және салыстырмалы қателіктерін табу.

болады. Сонда , .

4-мысал: көбейтіндісінің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтау.

екені белгілі. .

.

Тапсырмалар

1. Келесі сандарды 3 мәнді цифрға дейн дөңгелектеп, алынған жуық мәндердің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтаңыздар:

1. 2

   7. 0,1545

   8. 0,003922

   9. 625,55

   10. 94,525

   ,1514

2. 0,16152

3. 0,01204

4. 1,225

5. -0,0015281

6. -392,85

2. Салыстырмалы қателіктері белгілі келесі сандардың абсолютті қателіктерін анықтаңыздар:

1. a=13267,

2. a=2.32,

3. a=35.72

4. a=0.896

5. a=232.44

3. Абсолютті қателіктері белгілі жуық сандардың дұрыс таңбаларының санын анықтаңыздар:

1. X=0.3941

2. X=0.1132

3. X=38.2543

4. X=293.481

5. X=2.325

6. X=14.00231

7. X=-32.285

4. Салыстырмалы қателіктері белгілі жуық сандардың дұрыс таңбаларының санын анықтаңыздар:

a=1.8921

a=0.2218

a=22.351

a=0.02425

a=9.3598

a=0.11452

a=592.8

Зертханалық жұмыс №2-3.

Тақырыбы: Бір айнымалы теңдеуді шешу.

Тапсырма 1: Графиктік және аналитикалық әдістермен берілген теңдеудің түбірін бөліп алу немесе жекелеу керек.

Тапсырма 2: Хорда және Ньютон әдістерін қолданып, теңдеудің бір түбірін 10 -дәлдікпен есептеу қажет.

Тапсырма 3: ЭЕМ-ның көмегімен барлық берілген 10 теңдеуді есептейтін программа құру.

Тапсырмалардың нұсқалары 1-кестесінде берілген.

Зертханалық жұмысты орындаудың түсініктемелері. Берілген теңдеу үшін барлық түбірден тұратын кесінділер табылады. Бұл тапсырманы көп жағдайда графикалық тәсілмен шешу оңай.

Тапсырма 1-ді орындау үшін теңдеудің түбірін бөлу программасы құрылады. Қадамның мәні функцияның орындалу ретіне және бөліктің көлеміне байланысты орындалады. Тапсырманың орындау нәтижесі теңдеудің бір түбірінен тұратын бөліктердің тізімінен тұруы керек.

Тапсырма 2-ні орындау кезінде алғашқы теңдеу таңдалынған тапсырма бөлігін орындау үшін f(x) функциясы 1.1-теореманың (1)-(3) шарттарын қанағаттандыратын, x=f(x) түріне айналады. Берілген теңдеуді жай қайталау түріне түрлендіру әдістері және ұқсастық шарттарының берілуі тақырыптың 1.6-бөлімінде толығымен қарастырылған.

Тапсырма 3-ті орындаған кезде теңдеудің барлық түбірлерін есептеу программасы дербес құрылады. Программа бөлімдерді біріктіру алгоритмдерінің жолымен және жартылай бөлу әдісімен кезектегі түбірлерді анықтаудан кейін ғана алынуы мүмкін.

Тапсырмаларды орындағаннан кейін алынған нәтижелерді салыстыру және оларға дұрыс сандарды қою қажет.

Кесте-1

^{Зертханалық жұмыс №4-5.}

Тақырыбы: Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін сандық әдістерімен (Гаусс, Зейдел және жәй қайталау) шешу.

Тапсырма. Үш белгісізі бар келесі түрде берілген (1) үш сызықтық теңдеулер жүйесін әр түрлі әдістермен шешіңіздер.

(1)

1). EXCEL кестелік бағдарламаны қолданып Гаусс әдісімен;

2). Ε=10 дәлдігімен ЭЕМ-де жай қайталау әдісімен .

2-кестеде әрбір студентке берілетін варианттар бойынша берілген теңдеулер жүйесінің коэффиценттері мен бос мүшелері келтірілген.

Бұл Зертханалық жұмыстарды орындаудың алдында екінші тараудың материалдарын толығымен игеру қажет.

Тапсырма №1-ді Гаусс әдісімен орындау үшін 2 кестедегі мысалдар бойынша есептеу кестесі құрылады.

EXCEL-де есептеу барысында үтірден кейін 5 мәнді алу жеткілікті. Бұл есепті тікелей және кері бағытта шешіп, алынған шешімдерді берілген бастапқы берілген теңдеулер жүйнсінеқоя отырып есептің дәл шешімін алғандығымызды тексеріп көруімізге болады.

Тапсырма № 2-ні орындау барысында берілген теңдеулер жүйесін жай қайталау әдісі бойынша екі программа құру қажет:

• 1-ші жинақты болудың жеткілікті шартын есепке алу;

• 2-ші бұл шарттарды есепке алмай орындау керек.

Тапсырмаларды орындау үшін келесі есепті шешу жолдарын ұсынамыз.

Кесте-2

Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісін қолданып шешу
Тапсырма №1. Үш белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісін қолданып шешіңіздер:
Кезеңдер		Х1	Х2		Х3	Бос мүшелер	Σ	S
1-кезең		0,78	-0,02		-0,12	0,56	1,2
		0,02	-0,86		0,04	0,77	-0,03
		0,12	0,44		-0,72	1,01	0,85
		1	-0,02564		-0,15385	0,717948718	1,5384615	1,538462	0
2-кезең		0	-0,85949		0,043077	0,755641026	-0,060769	-0,06077	0
		0	0,443077		-0,70154	0,923846154	0,6653846	0,665385	0
			1		-0,05012	-0,879176611	0,0707041	0,070704	0
3-кезең			0		-0,67933	1,313389021	0,6340573	0,634057	0
					1	-1,933354413	-0,933354	-0,93335
					X3=	-1,933354413
			X2=		-0,97608
		X1=	0,395482
Тапсырма №2. Шамалар жуықтап дөңгелектеніп алынғандықтан, енді қателігін есептейік:
Ол үшін табылған айнымалылардың мәндерін бастапқы орнына апарып қоямыз:
	0,056952				ε1=	0,503048061
	0,77				ε 2=	0
	1,01				ε 3=	0

^{Зертханалық жұмыс №7-8}

Тақырыбы: Сызықтық программалау есебін шешудің симплекстік әдісі.

Бізге белгісізден тұратын төмендегіше сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін:

(1)

(2)

(1) теңдеулер жүйесінің барлық теріс емес шешімдерінің ішінен, мынандай мақсаттық функцияның (2) мәнін максимумге немесе минимумге айналдыратын шешімін табу керек. Бұл тапсырманы екі түрлі әдіспен орындау керек.

1) ЭЕМ-ді калькулятор ретінде қолдана отырып, симплекстік кестені түрлендіру тәсілі арқылы қолмен есептеуге болады;

2) Симплекстік әдістің программасын құрып, ЭЕМ – де есептеу тәсілі бойынша.

Сөйтіп, осы тәсіл арқылы шыққан нәтижені салыстыру керек.

1-тәсіл бойынша есептеу үшін, кейбір мүмкін болатын базистік шешімдерді іздеуден бастау керек, Егер бастапқы базис қарастырылынбайтын болса, онда оған симплекстік түрлендідуді қолданамыз. Бастапқы базисті алғанан кейін шектеулер жүйесі (3.17) түрге көшеді, ал бос белгісіздер арқылы көрсетілген мақсаттық функция, (3.18) түрде болады. Осыдан кейін есептің шешімі симплекс-кестені тізбектей толтыруға келтіріледі. МК-да есептеу жүргізе отырып, аралық мәндерді үтірден кейін, 4-5 таңбаны дөңгелектеп алу керек. Симплекс-кестені құрастыру функциясын минимизациялайтын тиімді шешім табылғанша, жүргізіледі немесе қойылған сызықтық программалау есебінің шешімі болатынын көрсетеді,

Тиімді шешімге жеткеніміздің белгісін, симплекс-кестесінің соңғы жолындаорналасқан мақсаттық функцияның мәндерінің нөл немесе теріс мәндерден тұратындығы көрсетеді.

Тиімді шешімнің жоқ болуының белгісін, соңғы жолда оң элементтерінің бар болуы көрсетеді. Бірақ, соның үстінде тұрған кестенің элементтері теріс болу керек.

Шектеулердің алғашқы жүйесі теңдік формасында 1-кестеде берілгендіктен, әрбір теңдік оған эквивалент екі теңсіздікпен ауыстырылады.

Шыққан нәтижені симплекс-кесте әдісінің есебін «қолмен» есептеген кездегі нәтижемен салыстыру керек.

Тапсырмалар варианттары Кесте-1

Вариан номері	і	Аі1	Аі2	Аі3	Аі4	Аі5	Ві
1	1 2 3	0 -8.704	-5.871 7.453 -6.729	6.543 8.962 8.453	-9.996 0.763 7.772	7.618 -8.654 5.432	0.864 0 9.743
2	1 2 3	5.067 0 0	-25.396 6.375 -0.023	0 0 7.277	0 1.624 0	5.637 2.454 -3.765	6.201 3.766 1.734
3	1 2 3	-5.34 16.543 21.325	0 62.3 0	0 2.1534 0	31.46 -11.101 25.6	0 0 36.081	13.546 62.345 38.963
4	1 2 3	0 71.05 0	0 0 -3.1264	-98.345 21.632 48.943	-21.578 0 0	49.378 34.589 12.435	4.998 66.735 68.994
5	1 2 3	0 0 -5.789	-14.894 9.995 4.001	0 94.366 0	36.8811 0 0	22.864 34.5812 88.9715	33.684 38.485 4.432
6	1 2 3	24.675 0 -54.675	45.308 1.453 32.408	-67.432 6.432 1.345	0 65.807 -54.111	2.807 2.005 2.876	60.747 43.786 0
7	1 2 3	-34.567 82.363 76.443	0 0 1.056	38.564 0 0	46.583 53.642 -28.341	0 12.567 0	12.781 64.348 88.443
8	1 2 3	32.453 12.045 -56.214	-76.034 -65.432 43.511	0 0 -4.329	8.654 -1.457 4.328	45.026 54.443 5.432	0 0 6.439
9	1 2 3	93.785 56.344 -3.756	0 0 11.594	0-1 38.456 0	-13.234 0 0	48.401 38.988 77.345	10.554 9.341 7.576
10	1 2 3	11.783 0 13.479	-5.637 23.441 48.134	0 -56.789 3.345	4.456 66.349 -3.438	87.333 13.567 0	0.056 55.331 61.114
11	1 2 3	-32.0.32 0.347 9.496	56.438 -61.391 -64.581	0 0 53.464	64.574 2.146 -7.652	0 7.651 -6.589	11.12 21.85 43.6
12	1 2 3	2.346 0 -2.457	5.431 1.8956.589	1.356 21.048 0	-6.729 35.131 2.349	0 0 7.122	5.483 32.164 5.345
13	1 2 3	1.067 0 -4.085	2.492 -7.563 0	-0.234 2.357 2.4565	6.201 0 5.348	0 6.532 21.431	3.561 8.758 6.546
14	1 2 3	6.861 -0.245 0	23.537 81.307 36.566	-7.866 0 15.703	0 16.932 12.561	21.678 42.564 -0.276	12.078 13.384 80.34
15	1 2 3	1.239 -34.127 0	65.328 0 5.409	-32.567 6.541 -4.583	0 43.712 6.726	45.231 4.328 3.417	-4.568 2.089 20.91

Кесте-2

Вариант номері
1	7,541	-2,112	7,655	-9,218	7,649
2	0,213	4,324	-7,567	42,679	-8,231
3	12,523	-6,308	5,864	-44,556	6,687
4	-32,456	0	37,891	46,441	-23,441
5	0	-13,788	16,568	0	13,405
6	2,564	0	45,682	-30,037	4,562
7	66,756	70,813	45,678	9,101	-13,458
8	1,239	-7,543	8,541	-34,523	6,714
9	0	-37,404	0	-16,789	13,459
10	-90,814	13,456	-7,894	6,664	14,565
11	2,152	-6,452	0	1,801	9,432
12	1,216	-4,517	6,218	-12,041	31,539
13	1,452	2,342	0,123	6,751	4,862
14	13,862	-6,543	72,523	60,305	10,107
15	1,324	-6,525	4,083	-6,541	8,012
16	3,052	5,036	-5,672	21,372	46,105
17	6,015	70,678	-93,456	0	34,582

Симплекс- әдісінің алгоритміне мысал келтірейік:

Мақсаты: Симплекс әдісінің алгоритмімен танысу және симплекс әдісін қолданып есептерді шешу. Тех. жабдық: ЭЕМ

Тапсырма 1: Есептің негіздік жоспарын табу

Тапсырма 2: Есептің негіздік жоспарын табу

Орындау тәртібі:

(1) — (2) шешуі екі этаптан тұрады : алғашында қандай да бір негіздік -ді табады; екінші — арнайы ережелер бойынша алғашқы келесісіне, тиімдік негізді жоспар -ге, одан кейін -ге осылайша есеп шешілгенге дейін.

Геметриялық көзқарастан негіздік жоспарлардың көбейіп кетуін көпбұрыштың бір шыңынан бағыт бойынша келесі шыңына өту,мақсатты функция максималды мәнге ие (1-сурет).

1-сурет. Есептердің алғашқы негіздік жоспарын

Осылайша (1) —(2) есептердің алғашқы негіздік жоспарын табу үшін келесі алгоритмді ұсынуға болады:

1) бағанның бос мүшелерінің барлық элементтері теріс емес болып, б.д теңсіздік орындалу, есепті жардан формасы таблицасы түрінде жазамыз. Бос мүшелері теріс (2) жүйенің екінші теңдеуі қосымша (-1)-ге көбейтіледі. 1 таблица симплекстік деп аталады.

2) табл.1 жардандық адымдармен қайта бейнелейміз, нольдер орнына сәйкес х қоямыз. Мұнда орналастырушы әрбір адымда ең болмағанда бір оң элемент ендіретін кез-келген баған таңдалуы мүмкін. Таңдалған бағандарды орналастыратын мақсатты функцияның жолы берілген этапқа ешқандай әсер етпейді.

Рұқсат етілген жол босмүшелерінің қатынасының ең кішілерімен рұқсат етілген бағанның оң сәйкес элементтерімен анықталады (мұндай қатынасты симплекстік деп атаймыз)

Таблица 1.

	1
0= … 0=	…	… … …
	0

Жардан таблицасында жоғары лақтырылған бағандарды (рұқсат етілген) сызып тастауға болады. Нольдерден құралған жолдарды да сызып тастауға болады.

Егер де 0- жол бос мүшеден басқа оң элементтері жоқ болса, онда шектелген теңдеулері бар жүйе кері емес шешімді қабылдамайды. Таблица 2.

	1
…	…	… … …

Егер шектелегн теңдеулері бар жүйе сәйкес болса онда бірнеше адымнан соң сол жақтағы барлық нольдер х пен ауыстырылады және қандай да бір базис оған жауап беретін негіздік жоспар. (табл.2 ) . Таблицадан негіздік жоспар компоненттерін шығару үшін нольге тең бос ауыспалыларды қою керек. Онда базистік ауыспалылар сәйкес бос мүшелерге тең болады: немесе Негіздік жоспарға жауап беретін , функциясының мәні бос мүшесіне тең, б. д. 2-есептің шешімі. Есепті симплекс-таблицасына жазып және жордан екі адымын жасап (табл. 2.1—2.3), ескереміз, екінші жолда табл. 2.3 барлық элементтері, бос мүшесінен басқа, нольдер; 0=2 аламыз. Есеп шешімсіз.

Бақылау сұрақтары :

1.Симплекс әдісінің ерекшелігін атаңыз.

2.Симплекстік әдіспен есепті шешудің негізгі этаптары.

3. Есептің негізгі жоспарын табудың алгоритмін сипаттаңыз.

^{Зертханалық жұмыс №9}

Тақырыбы: Функцияларды интерполяциялау.

1-Тапсырма: Келесі таблица бойынша

X	X0	X1	X2
Y	Y0	Y1	Y2

2-Тапсырма: Калькулятордың көмегімен интерполяцияланған Лагранж көпмүшелігінің аргументтің аралық мәндері үшін берілген функцияның бір мәнін табу керек және интерполяция қателігін бағалау керек.

З-Тапсырма: Интерполяцияланған Ньютон және Лагранж формулаларын қолдана отырып,берілген функцияның бір бөлігін ЭЕМ-нің көмегімен толықтыру керек.

1-Тапсырманы орындау барысында (4.8) формула бойынша Лагранж көпмүшелігі құрастырылады да, қажетті есептеулер және осы сияқты мүшелерге келтіру орындалады. Шыққан формула бойынша интерполяцияланатын функцияның графигі салынады да,онда түйіндес нүктелері белгіленеді. І-тапсырманы орындауда негізгі берілгендерді 4.11 кестеден алынады.

2-Тапсырма калькулятордың көмегімен арнайы есеп беретін схема (4.3)кесте бойынша орындалады. Ең жақсы дәлдікке жету үшін түйіндердің мүмкін болатын максимал жүп немесе тақ саны алынады, ол берілген х мәніне қатысты симметриялы. Интерполяциялаудың қателігін бағалау (4.21) формула бойынша орындалады. 2-тапсырмаға қолданылатын вариант 4.16 кестеден ізделінеді.

З-Тапсырманың бірінші бөлімін орындауда функцияның кестесі бойынша берілген аргумент мәндерінің бірдей қашықтықта шектік айырымдар кестесі қүрастырылады және Ньтонның интерполяциялық полиномның реті анықталады. Субтабуляция бөлігінің орналасуына байланысты негізгі кестеге қатысты және соңғы айырымдардың қажеттілігі ретінде Ньютонның интерполяциялық формулаларының біріншісі (4.14) немесе екіншісі (4.17) сайланады. З-тапсырманы орындау үшін қажет негізгі мәліметтер 4.16 кестеден алынады. 4.11- кесте

Вариант	Х0	Х1	Х2	Y0	Y1	Y2
1	-1	0	3	-3	5	2
2	2	3	5	4	1	7
3	0	2	3	-1	-4	2
4	7	9	13	2	-2	3
5	-3	-1	3	7	-1	4
6	1	2	4	-3	-7	2
7	-2	-1	2	4	9	1
8	2	4	5	9	-3	6
9	-4	-2	0	2	8	5
10	-1	1.5	3	4	-7	1
11	2	4	7	-1	-6	3
12	-9	-7	-4	3	-3	4
13	0	1	4	7	-1	8
14	-8	-5	0	9	-2	4
15	-7	-5	-4	4	-4	-5
16	1	4	9	-2	9	3
17	7	8	10	6	-2	7-4
18	-4	0	2	4	8	-2
19	-3	-1	1	11	-1	6
20	0	3	8	1	5	-4

4.14 кесте

x	F(x)=2.1 sin0.37x
-3.2	-1.9449
	-0.6126
0.4	0.3097
2.8	1.8068
4.0	2.0913
6.4	1.4673
7.6	0.6797

x	F(x)=1/x*lg x+x2
1.3	1.7777
2.1	4.5634
3.7	13.8436
4.5	20.3952
6.1	37.3387
7.7	59.4051
8.5	72.3593

4.14-кесте

4.12-кесте

x
2.6	2.1874
3.3	2.8637
4.7	3.8161
6.1	3.8524
7.5	3.1905
8.2	2.8409
9.6	2.6137

4.13 кесте

x	F(x)=ln 2.3x-0.8/x
1.2	0.3486
1.9	1.0537
3.3	1.7844
4.7	2.2103
5.4	2.3712
6.8	2.6322
7.5	2.7411

4.13-кесте 4.15-кесте

4.16-кесте

Вариант номері	2 тапсырма		3 тапсырма
	кесте	х	кесте	a	b	h
1	4.6	3.8	4.11	0.65	0.75	0.025
2	4.7	3.5	4.12	0.30	0.45	0.01
3	4.8	0.5	4.13	1.45	1.55	0.02
4	4.9	4.8	4.14	1.20	1.40	0.01
5	4.6	4.1	4.12	0.10	0.20	0.02
6	4.7	3.9	4.13	1.10	1.30	0.025
7	4.8	3.3	4.14	1.05	1.25	0.02
8	4.9	4	4.11	0.70	0.90	0.025
9	4.6	2.9	4.13	1.25	1.50	0.01
10	4.7	5.3	4.14	1	1.10	0.01
11	4.8	4.1	4.11	0.60	0.70	0.01
12	4.9	7.6	4.12	0.15	0.35	0.025
13	4.6	4.4	4.14	1.15	1.25	0.01
14	4.7	2.5	4.11	0.65	0.85	0.025
15	4.8	5.2	4.12	0.20	0.40	0.02
16	4.9	6.8	4.13	1.15	1.25	0.01

4.19-кесте 4.18 кесте

4.17-кесте

x	Sin x
1.10	0.89121
1.15	0.91276
1.20	0.93204
1.25	0.94898
1.30	0.96356
1.35	0.97572
1.40	0.98545
1.45	0.99271
1.50	0.99749
1.55	0.99973
1.60	0.99957

x	Cos x
0.05	0.99375
0.10	0.99500
0.15	0.99877
0.20	0.98007
0.25	0.96891
0.30	0.95534
0.35	0.93937
0.40	0.92106
0.45	0.90045
0.50	0.87758
0.55	0.85252

x	sin x
0.60	0.56464
0.65	0.60519
0.70	0.64422
0.75	0.68164
0.80	0.71736
0.85	0.75128
0.90	0.78333
0.95	0.81342
1.00	0.84147
1.05	0.86742
1.10	0.89121

^{Зертханалық жұмыс №10-11}

Тақырыбы: Сызықтық дифференциалдау және интегралдау.

1. -Тапсырма: Лагранждың немесе Ньютонның интерполяцияланған формулаларын қолдана отырыпдаблицалық түрде берілген функция туындысының мәнін калькулятордың көмегімен есептеңіз және бүл әдістің қателігін бағалаңыз.

2. -Тапсырма: Аналитикалық түрде берілген f(х) функцияның функцияның туындысының бір мәнін есептеу үшін программасын құрып, оны ЭЕМ-де есептеңіздер.

3-Тапсырма: Берілген f(х) функциясының интегралын [а,Ь] кесіндісін теңдей 10 бөлікке бөле отырып, трапеция және Симпсон әдісінің формулалары бойынша калькулятордың көмегімен есептеңіздер. Интегралдау әдісінің қателігін бағалап,алынған нәтиженің дәлдігін салыстыру керек. Бөлінген аралықтың қайсысында дәлдік Е=10"⁶ дәлдігі орындалатынын анықтаңыздар.

4-Тапсырма: Симпсон формуласы бойынша [а,Ъ] кесіндісінде берілген функция интегралының мәнін есептеу үшін, программасын күрып, ЭЕМ-де Е=10^-6 дәлдігімен есептеңіз.

5-ші Зертханалық жүмысты орыңдау барысы, 1-ші тапсырманы орындау үшін 4.17- 4.20 кестелерінің негізгі берілгендері қолданылады, олар "3_ Тапсырма" бөлімінің 4.16 кестесіндегі вариант номерінің сәйкес келуімен таңдалынады.Дифференциалдау үшін кестенің бөлігі, х аргументтің мөні,сонымен бірге қолданатын әдісті мүғалім өзі береді.

2-ші тапсырма да, 1-ші тапсырманы орындау үшін қодданылатын мәліметтермен орындалады , тек мүндағы айырмашылық, бұл 4.17-4.20 кестелерінен функция мәндерінің кестелік емес, аналитикалық өрнегі алынады.Туындының табылған мәнін , 1-ші тапсырманы орындағандағы табылған мәнмен , сонымен қатар формула бойынша тікелей дифференциалдаудан кейінгі берілген функцияның туындысын есептегендегі нәтижемен салыстырамыз.

3-ші тапсырманы орындау үшін негізгі мәліметтерді 5.5 кестеден аламыз. Интегралдау кесіндісі бірдей 10 тең бөлікке бөлінеді және Симпсон , трапеция формулалары бойынша интегралды есептеу жүргізіледі . Бүл мақсатта интеграл астындағы функция мәңдерінің біртүтас кестесін схема бойынша құрастыру ыңғайлы:

5.6 кесте

Xi

Yi/2(i=0.10)

Yi (i=1,2,3,…,9)

2yi (i=1,3,5,7,9)

Кестенің үш бағанасының әрқайсысында, интеграл астындағы функцияның сәйкес мәндерінің қосындысы орналасқан. Есептеулер максимал дәлдікпен жүргізіледі. 4-ші тапсырманы орындамастан бұрын 5.10 параграфты жақсылап оқып жаттап есептің қайталану әдісінің бар болуын жақсылап талдау керек.

Бұл тапсырманы орындау үшін қажетті мәліметтерді 5.7 кестеден алуға болады.

5.7 кесте

Варианттар	F(x)	A	B
1	0.37esin x	0	1
2	0.5x+xlg x	1	2
3	(x+1.9)sin(x/3)	1	2
4	1/x ln(x+2)	2	3
5	3 cosx/2x+1.7	0	1
6	(2x+0.6) cos(x/2)	1	2
7	2.6x2 lnx	1.2	2.2
8	(x2+1)sin(x-0.5)	0.5	1.5
9	x2 cos(x/4)	2	3
10	sin(0.2x-3)/x2+1	3	4
11	3x+ln x	1	2
12	4xex2	-1	0
13	3x2+tg x	-0.5	0.5
14	3x2+sin x/x2	0	1
15	3xecos x	0.2	1.2
16	x2tg x/2	1.5	2.5

^{Зертханалық жұмыс № 12-13}

Тақырыбы: Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу.

Тапсырма: У'=f(х,у) дифференциалдық теңдеуі үшін [а;в] кесіндісінде берілген бастапқы шарттарын У(а) = с және интегралдау адымын h деп қабылдап, Коши есебін шығар:

1. Эйлер әдісімен адымды 2h —де және адымдап h деп ЭВМ —да (МК-да алынған кесте бойынша интегралдық қисық графигінің көрінісін сал);

2. Рунге-Кутта әдісімен адымдап 2h және h деп ЭВМ- да;

3. Кітапханалық бағдарламаны қолдану арқылы.

Тапсырманың нүсқаға арналған бастапқы деректері 6.1 кестесінде берілген.

6.1- кесте

Вариант		a	b	c	h
1	xy3-x2	4	5	0.7	0.1
2		2.6	4.6	1.8	0.2
3	cos(1,5x-y2)-1,3	-1	1	0.2	0.2
4	X2+xy-y2	2	3	1.2	0.2
5		0	0.5	0.3	0.05
6	cos(1,5y-x)2-1,4	1	2	0.9	0.1
7	4,1x-y2+0.6	0.6	2.6	3.4	0.2
8		1.5	2	2.1	0.05
9		2.1	3.1	2.5	0.1
10		3	5	1.7	0.2
11	2,5-cos(y+0,6)	1	3	1.5	0.2
12	x+2.5y2+2	1	2	0.9	0.1
13	2-sin(x+y)2	2	3	2.3	0.1
14		0.1	0.5	1.25	0.05
15		-2	-1	3	0.1
16		0	2	2.9	0.2
17	sin(x+e)+1,5	1.5	2.5	0.5	0.1

Зертханалық жұмыс № 14-15

Тақырыбы: Тәжірибелік мәліметтердің статистикалық өңделуі

Тапсырма: Берілген кесте бойынша У белгісінің нәтижелік мәні және факториалдық белгінің берілуін (мысалы, х₁) неғүрлым кіші квадраттар әдісімен екі әртүрлі эмпирикалық формаларды және алынған жуықтаудың сапасын қүрамыз.

Зертханалық жұмысты орындауға түсінік.

7.1 -7.3 материалын оқып және 7.3.1 мысалын қарастыру. Берілген кесте бойынша нүктелік график құрылады, оның көмегімен неғұрлым жуықтау функциясы таңдалады. Мұнда жақындаудың ең жақын түрін табудың қандай да бір жалпы әдісін көрсету мүмкін емес, көп жағдайда осы есепті сәтті шешу зерттеушінің тәжірибесі мен сезіміне тәуелді. ЭЕМ-ды пайдалану кезінде көп күш жұмсамай-ақ әртүрлі әдістерді сынақтан өткізу мүмкіндігі пайдаланылады ОХ пен ОУ остерінде масштабтарды дұрыс қиюластыру және координаталар жүйесінде графикті дұрыс орналастыру нүктелік графикті зерттеу мен жуықтау функциясын таңдауды жеңілдетеді. Эмприкалық формуланы құру кезінде аргументтің алғашқы мәндері және функциялар оң болуына қол жеткізуге болатынын байқауға болады.

Бұл үшін остердің бағытына қарай параллелді тасымалдау жеткілікті, яғни жаңа айнымалыға өтуге болады, сонымен бірге, соңғы нәтиже жазбасында алғашқы белгілеулерге қайту қажет.

Жуықтау функциясының түрін таңдағаннан кейін есептерге кірісу қажет. Егер есептеу калькулятор көмегімен берілсе, онда көмекші кестені қолдану ыңғайлы (кесте 7.4, 7.5). ЭЕМ-ді пайдалануда берілген түрдегі жуықтау функцияларының параметрлер мәнінің қорытындысы және оларға сәйкес келетін квадраттарының программасы құрылады.

Кейбір жағдайларда эмприкалық формуланы жақсартуға қол жеткізуге болады. Қарапайым өдіс келесідей болады, ү = F(х) табылған эмприкалық

функция болсын, ал оған сәйкестенетін квадраттар ауытқуы (7.8 формуланы қарастырамыз). функциясын қарастырамыз, мүндағы С- соші. Егер қабылдасақ, формуласы формуласына қарағанда квадраттық ауытқу қосындысын ең аз мәніне сәйкестелетінін [6] көрсету қиын емес. Сонымен С мәні 0-ге қарағанда көбірек ерекшеленеді.

Алғашқы мәліметтермен жұмыс 7.7 кестеде орналасқан. 1. Тапсырманың 1- бөлімі калькуляторда немесе ЭВМ-да орындалады. (6.3.1 есепті қарандар). Қол және машинкамен есептелген жауаптарды бір кестеге толтыру.

Функцияның мәні өзінің жолдарымен бір-бірімен салыстырмалы түрде құрастырылады, ал дәл жауабы. Микрокалькуляторде есептегенде функцияның графигі салынады, қисық шығады. Тапсырманың екінші бөлімінде ЭВМ-нің программасы құрастырылады, екі рет шығады-бірінші шыққанда , екіншісінде (сол бір интегралдық кесіндіде [а;в].

Салыстыра келе дәл нәтижесі шығады. Эйлердің тұжырымы бойынша. Егер есептелгенде У(х) функциясы 2h-қа, h арқылы У_n-тің

жуық мәндерін табуға болады. е табу үшін у_һ мына формуланы пайдалану керек