2. Унификация. Метод резолюции.

1. Определить, какие из следующих множеств предложений унифицируемы. Если они унифицируемы, найдите наиболее общий унификатор (НОУ).

1. S={{P(f(a),g(x)}, {P(y,y)}};

2. S={{P(a, x, h (g(z)))}, {P(z, h(y), h(y))}};

3. S={{Q(f(w), a, z)}, {Q(w,b,f(z))}};

4. S={{любит (w, f(y))}, {любит (Джордж, футбол)}};

5. S={{R(w,y), Q(w, f(z), z),R(w,w)}, {R(w,z), Q(f(w),w,z)}};

6. S={{P(f(x),a)}, {P(y,f(w))}};

7. S={{P(f(x),z)}, {P(y,a)}}.

2. Определите, какие из следующих предложений унифицируемы, найдите НОУ:

1. S={{Q(x)}, {Q(b)}};

2. S={{Q(a,x)}, {Q(a,a)}};

3. S={{Q(a,x,f(x))}, {Q(a,y,y)}};

4. S={{Q(x,y,z)}, {Q(u,h(v,v)u)}};

5. S={{P(x,g(x),y,h(x,y),z,f(x,y,z))}, {P(u,v,e(v),w,k(v,w),s)}}.

Полагаем, что a,b – константы, f,g,h,e,kF.

3. Определите невыполнимый основной пример для следующего множества дизъюнктов:

S={{P(x,a,g(x,b))}, {P(f(y),z,g(f(a),b)}}.

3. Известны истинные утверждения: «Воробей имеет крылья», «Воробей несет яйца» и «Если животное имеет крылья и несет яйца, то это птица». Требуется доказать утверждение «Воробей является птицей». Для этого выполните следующее;

a) переведите эти утверждения на язык логики предикатов первого порядка, выделив все необходимые группы формул, включая целевую;

b) сделайте опровержение целевой формулы;

c) переведите все формулы в клаузальную форму;

d) используя резолюцию, докажите (выведите) истинность целевой формулы.

5. Предположим, что верны утверждения, представленные ниже:

1. Существует хотя бы один дракон.

2. Дракон либо спит в своей пещере, либо охотится в лесу.

3. Если дракон голоден, он не может спать.

4. Если дракон устал, он не может охотиться.

Применить метод резолюции, чтобы ответить на следующие вопросы:

1. Что делает дракон, когда он голоден?

2. Что делает дракон, когда он устал?

3. Что делает дракон, когда он голоден и устал?

6. Пусть следующие предикаты интерпретируются так:

T(x,y,u,v) – “x,y,u,v – это трапеция»;

P(x,y,u,v) – «отрезки xy и vu – параллельны»;

E(x,y,z,u,v,w) – ”угол (xyz) равен углу (uvw)”.

И пусть даны предложения:

A1: xyuv[T(x,y,u,v)P(x,y,v,u)] – определение трапеции;

A2: xyuv [P(x,y,u,v)E(x,y,v,u,v,y)] – если xy параллельно vu, то угол (xyv) равен углу (uvy);

A3: T(a,b,c,d) (abcd – трапеция).

Докажите методом резолюции, что из А1, А2 и А3 следует E(a,b,d,c,d,b).

6. Докажите при помощи метода резолюции и замкнутых семантических таблиц:

   1. {{x[A(x)(B(x)&C(x))], x[A(x)&D(x)]}}╞ x[D(x)&C(x)];

   2. {x[P(x)&y(T(x,y)Q(x,y))], x[P(x)y(W(y)Q(x,y)]} ╞ x[T9x)W(x)]}.

7. Пусть справедлива теорема: «Нильпотентный идеал является модулярным и радикальным» Нуждаются ли в доказательствах следующие утверждения: «Если идеал не нильпотентный, то он не радикальный» и «Если идеал не модулярен, то он не нильпотентный»?

8. Пусть справедлива теорема: «Для того чтобы сеть Петри была ограничена и жива, достаточно, чтобы она была согласована и инвариантна». Известно, что некоторая сеть Петри не ограничена. Что еще можно сказать о ней? Что можно сказать о неинвариантной сети Петри?

9. Справедливы ли утверждения:

   1. Если верно, что дифференцируемая функция непрерывна, то невозможно, чтобы функция была дифференцируема или разрывна.

   2. Если верно, что невырожденная матрица имеет обратную, то также справедливо, что матрица либо вырождена, либо имеет обратную.

10. Известно, что хроничные сепульки всегда латентны или бифуркальны. Какие из следующих утверждений в этом случае истинны:

    1. Сепульки не хроничны только в случае отсутствия у них свойства латентности.

    2. Латентность сепулек не является необходимым условием их хроничности или бифуркальности.

    3. Сепульки бифуркальны только в случае их хроничности или латентности.

    4. Хроничность сепулек является достаточным условием их латентности или бифуркальности.

    5. Для того чтобы сепульки были бифуркальны, достаточно, чтобы они были хроничны.

    6. Для нехроничности сепулек необходимо отсутствие у них как бифуркальности, так и латентности.

11. Мистер Мак-Грегор. Владелец лавки из Лондона, сообщил в Скотланд-Ярд, что его ограбили. По обвинению владельца лавки были арестованы три подозрительные личности А, В и С. На основании показаний Мак-Грегора, данных им под присягой, было установлено, что:

    1. Каждый из подозреваемых А, В и С в день ограбления был в лавке и никто туда больше не заходил.

Следующие факты были неопровержимо установлены следствием:

2. Если А виновен, то у него был ровно один сообщник.

3. Если В невиновен, то С тоже невиновен.

4. Если С невиновен, то В тоже невиновен.

Против кого Скотланд-Ярд выдвинул обвинение?

13. (Дело о рецидивистах). Трое рецидивистов, А, В и С, подозреваются в преступлении. Неопровержимо установлены следующие факты:

1. Если А виновен, а В невиновен, то в деле участвовал С.

2. С никогда не действует в одиночку.

3. А никогда не ходит на дело вместе с С.

4. Никто, кроме А, В и С в преступлении не замешан, но по крайней мере один из этой тройки виновен.

Можно ли на основании этих фактов выдвинуть обвинение против В? Против В или С? Против А?

13. (Дело о врунах). Три школьника А, В и С вызваны к директору. В беседе с директором А утверждает, что В врет, В утверждает, то С врет, а С утверждает, то оба, А и В врут. Что может заключить директор?

14. По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В, С и Д. Установлено следующее:

Если А и В оба виновны, то С был их соучастником.

Если А виновен, то по крайней мере один из двух, В и С, был его соучастником.

С всегда «ходит на дело» вместе с Д.

Если А не участвовал в ограблении, то там был Д.

Какие выводы можно сделать отсюда? Можно ли отсюда заключить, что В виновен? Можно ли заключить, что виновны А либо Д?

16. Задача об опоздавшем автобусе. Даны следующие посылки:

Если Билл поедет на автобусе, то он потеряет свое место, если автобус опоздает.

Билл не сможет вернуться домой, если он потеряет работу, и будет чувствовать себя подавленным.

Если Билл не получит работу, то он будет чувствовать себя подавленным и не сможет вернуться домой.

Какие из следующих предложений верны. Если верны указанные выше посылки? Дайте доказательства истинных предложений и контрпримеры к остальным.

1. Если Билл поедет на автобусе, то Билл потеряет работу, если автобус опоздает.

2. Билл получит работу, если он потеряет свое место и сможет вернуться домой.

3. Если Билл не потеряет своего места, то он не сможет вернуться домой и не получит работы.

4. Билл будет чувствовать себя подавленным, если автобус опоздает или он потеряет свое место.

17. Записать в форме предиката утверждения:

1. Если два объекта из М обладают свойством Р, то они совпадают.

2. По крайней мере, один студент решил все задачи.

3. Каждую задачу решил, по крайней мере, один студент.

18. Один из афоризмов Козьмы Пруткова звучит так: «Нет столь великой вещи, которую не превзошла бы величиной еще большая; нет вещи столь малой, в которую не вместилась бы еще меньшая». Записать в форме предиката афоризм, используя атомный предикат P(x,y): (x>y). Являются ли обе части афоризма тождественными с точки зрения передаваемой информации?

19. Рассмотрим определение. Функция f(x), определенная на множестве Е, непрерывна в точке x₀, если:

Построить определение функции, которая не является непрерывной в точке x₀.

18. Доказать методом резолюций, что если Кощей бессмертен, то он не человек.

19. Доказать справедливость рассуждения: «Иван и Петр – братья. Братья имеют одну фамилию. Петр имеет фамилию Сидоров. Следовательно, Иван тоже имеет фамилию Сидоров».

20. Можно ли из следующей совокупности фактов:

А1: Марк был римлянином.

А2: Цезарь был диктатором.

А3: Те римляне, которые ненавидели диктатора, пытались убить его.

А4:Римляне либо были преданы диктатору, либо ненавидели его.

А5:Марк не был предан Цезарю.

вывести доказательство того, что Марк пытался убить Цезаря?

18. Проверить правильность рассуждения: «Никакой торговец сепульками сам их не покупает. Некоторые люди, покупающие сепульки, глупы. Следовательно, некоторые глупые люди не торгуют сепульками».

19. Являются ли правильными рассуждения:

1. «Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Джонс был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если же убийство имело место после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей».

2. Если капиталовложения останутся постоянными, то вырастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если расходы правительства не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не вырастет. Следовательно, расходы правительства возрастут».

18. Проверьте, являются ли правильными следующие рассуждения(возможно, что в них отсутствуют некоторые необходимые посылки):

1. «Если философ - дуалист, то он не материалист. Гегель не метафизик. Следовательно, Гегель Диалектик или дуалист».

2. «Некоторые водные животные не являются рыбами, поскольку эти животные - теплокровные».

3. «Все металлы – кристаллические вещества, поскольку ни одно кристаллическое вещество не является пластичным, и ни один металл не пластичен».

4. «Все дельфины – киты. Ни одна рыба не является дельфином, потому что ни одна рыба не является китом».

18. Доказать, что кисть руки является частью тела человека, исходя из того, что рука является частью тела человека, а кисть руки – часть руки, формализовав транзитивность отношения «быть частью».