2. Исчисление высказываний

1. Вывести секвенции

1. ⊢(UU);

2. (UB),(BG),U⊢G;

3. ⊢

4. (U(BG)),(UB),U⊢G;

5. (UB), ⊢

6. ⊢

1. Доказать, что следующие правила являются допустимыми:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. ;

7. 

8. 

3. Вывести следующие секвенции:

1. ⊢

2. ⊢

3. ⊢

4. ⊢

5. ⊢

6. ⊢

7. ⊢

8. ⊢

9. ⊢

10. ⊢

11. ⊢

12. U⊢

13. B⊢

14. (UB)⊢

15. ⊢

16. ⊢

17. ⊢

4. Доказать, что следующие правила допустимы:

1. 

2. 

3. 

5. Вывести следующие секвенции:

1. ⊢

2. ⊢

3. ⊢

4. ⊢B;

5. ⊢

6. ⊢(UG);

7. ⊢

8. ⊢

9. (UB)⊢

10. (UB)⊢

6. Используя замкнутые семантические таблицы, доказать, что следующие выражения являются тавтологиями.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

7. Используя метод резолюций, доказать следования:

1. ⊢(cd);

2. ⊢

3. ⊢

4. ⊢(pr);

5. ⊢d.

2. Логика предикатов. Основные определения.

Сигнатура языка логики предикатов (PrL) обозначается, где С – множество констант, F – множество функциональных символов, R - множество предикатных символов.

Алгебраической системой M = (D, ) сигнатуры  называется непустое множество D, где каждому n-местному предикатному (функциональному) символу сопоставлен n-местный предикат (функция) на D, а каждой предметной константе сС сопоставлен некоторый объект из D. Алгебраическая система M называется моделью, если сигнатура  не содержит функциональных символов.

Формула логики предикатов называется постоянной или предложением, если в числе ее аргументов отсутствуют параметрические (зависящие от переменных) термы. Логическое значение может быть определено только для предложения. Для формул, аргументами которых являются параметрические термы, логическое значение представляет собой двоичный вектор, длина которого определяется числом возможных постановок констант из предметной области D вместо всех свободных вхождений переменных в формулу и может быть бесконечной. Этот двоичный вектор есть значение функции интерпретации формулы на предметной области D.

1. Пусть f¹, g², h³  F. Являются ли термами следующие слова:

1. f¹(g²(v₀, v₁));

2. g²(f¹(v₂), h³(v₀, v1, v₂));

3. f¹(g²(v₀), h³(v₀, v₁, v₂))?

   2. Пусть f, g, h, F – одноместный, двуместный и трехместный функциональные символы соответственно. P, Q R – одноместный и трехместный предикатные символы соответственно. Являются ли формулами следующие слова:

1. Q(v₀, f(v₁), h(v₁, v₂, v₂));

2. P(v₀)v₁(Q (v₀, v₁, v₂) & P (g(v₀, v₁)));

3. Q (P(v₀), f(v₁), f(v₂));

4. f (h(v₀, v₁, v₁))?

3. Показать, что слово v₀v₁ … v₀ (P(v₁) & … &P(v₀)), где PR, не является формулой.

4. Выписать все подформулы формул:

1. Q(f(v₀), g(v₀, v₁));

2. 

5. Описать множество термов от одной переменной v₀ и

1. Функционального символа f¹;

2. Функционального символа g².

6. Какие вхождения переменных являются свободными, а какие связанными в следующих формулах:

1. xP(x,y)yQ(y);

2. xP(x,y)yR(x,y);

3. 

   7. Является ли терм t свободным для переменной v в формуле U?

1. t=f(x,z), v=y, U=x P(x,y);

2. t=f(y,z), v=y, U=((P(y,z)  z q(z)).

3. T=y²-y; U=y (v+y<0), если предметной областью является множество действительных чисел?

8. Доказать, что

   1. постоянный терм свободен для любой переменной в любой формуле;

   2. переменная x свободна для x в любой формуле;

   3. если формула U не содержит свободных вхождений переменной x, то любой терм свободен для x в этой формуле.

9. Используя предикат <, записать следующие утверждения в системе (N; <, =, +, -):

   1. Существует число х, меньшее 5 и большее, чем 7;

   2. Для любого числа х существует у, меньшее х;

   3. Для любого числа х существует число у, большее, чем х;

   4. Для любых чисел х и у существует такое число у, что для любого z, если разность z-5<y, то разность x-7<3.

10. Пусть математическая модель сигнатуры имеет вид M=(N; S³, P³), где S(x,y,z) истинна тогда и только тогда, когда x+y=z, и P(x,y,z) истинна тогда и только тогда, когда x*y=z. Записать формулу с одной свободной переменной х, истинную в М тогда и только тогда, когда

    1. x=0;

    2. x=1;

    3. x=2;

    4. x – четно;

    5. x – нечетно;

    6. x – простое число.

11. Записать формулу с двумя свободными переменными х и у, истинную в М из задачи 10 тогда и только тогда, когда:

    1. x=y;

    2. xy;

    3. x<y;

    4. x делит у.

12. Записать предложение, выражающее в модели М из задачи 10:

    1. Несуществование 1;

    2. Конечность множества простых чисел;

    3. Всякое число можно представить в виде суммы двух квадратов;

    4. Для всякого числа существует строго меньшее число;

    5. Существует наибольшее натуральное число;

Истинны ли эти предложения в модели М?

10. Рассмотрим модели с одним двуместным предикатом R(x,y). Записать, что данный предикат

    1. Рефлексивен;

    2. Симметричен;

    3. Транзитивен;

    4. Иррефлексивен;

    5. Асимметричен;

    6. Антисимметричен;

    7. R(x,y) – эквивалентность.

11. Выполнимы ли следующие формулы:

1. xP(x);

2. xP(x);

3. xy(Q(x,x)&Q(x,y);

4. xy(P(x)&P(y);

5. xy(Q(x,y)zR(x,y,z));

6. (P(x)yP(y).

15. Являются ли тождественно истинными следующие формулы:

    1. (xP(x)xP(x));

    2. (xP(x)xP(x);

    3. (xyQ(x,y)yxQ(x,y));

    4. (xyQ(x,y)yxQ(x,y))?

16. Привести к пренексной нормальной форме, считая U и B бескванторными формулами:

    1. xyzuU;

    2. (xyU(x,y)&xyB(x,y));

    3. (xyU(x,y)xyB(x,y));

    4. (xyU(x,y)xyB(x,y)).

17. Для формулы xzyu ((y>z  y>x) & (u<z) & (u<x)) построить сколемовскую формулу. Для системы (N,<) найти требуемое обогащение.

18. Для формулы xyzt (P(x,t) & P(y,z)) построить сколемовскую формулу. Для любой системы ((М, P), где М={0,1}, найти подходящее обогащение.

19. Для формулы xyzvt (S(x,y,y)  (S(a,v,x) & P(v,t,t))) и системы (N, S³, P³) построить сколемовские функции, если S(x,y,z)=t  x+y=z; P(x,y,z)=t  x*y=z.

20. Привести к СНФ:

    1. (xyQ(x,y) xyQ(x,y));

    2. xyzv R(x,y,z,v);

    3. xyvz R(x,y,z,v).