10

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Тверской Государственный Технический Университет

Асеева Т.В. Задание на расчетно-графическую работу по математической логике и теории алгоритмов Учебное пособие

для студентов специальности 22.01- вычислительные машины, комплексы, системы и сети

Тверь 2006

УДК 510(075.8)
ББК22.12я7
Асеева Т.В. Задание на расчетно-графическую работу по математической логике и теории алгоритмов, 1-е изд. Тверь: ТГТУ, 2006, 29 с.

Методические указания содержат перечень заданий для расчетно-графической работы по курсу "Математическая логика и теория алгоритмов", читаемому студентам 2 курса специальности ЭВМ в третьем семестре. Расчетно-графическая работа выполняется студентами в третьем семестре.

Автор и составитель АСЕЕВА Т.В.

 Тверской государственный технический университет, 2006

Содержание

Требования к оформлению и срокам сдачи расчетно-графической работы 4

I. Функциональная полнота систем булевых функций 5

1.1. Замыкание и замкнутые классы 5

1.2. Классы функций, сохраняющих 0 и 1, Т₀ и Т₁ 6

1.3. Класс самодвойственных функций , S 7

1.4. Класс монотонных функций, М 7

1.5. Класс линейных функций, L 8

1.6. Критерий Поста 8

II. Элементы теории алгоритмов 9

III. Исчисление высказываний 11

IV. Логика предикатов. Основные определения. 12

V. Подстановки 15

VI. Унификация. Метод резолюции. 18

Варианты заданий на РГР 23

Требования к оформлению и срокам сдачи расчетно-графической работы

Задание на расчетно-графическую работу по Математической логике и теории алгоритмов выдается студентам второго курса специальности ВМКСС на 3-4 неделе третьего семестра.

Защита расчетно-графической работы производится на 15-16 неделе третьего семестра. Полностью оформленная работа сдается на проверку преподавателю не менее чем за три дня до защиты.

Расчетно-графическая работа выполняется в виде пояснительной записки на листах формата А4.

Титульный лист выполняется в соответствии со стандартом, утвержденным для курсовых работ и курсовых проектов.

Основное содержание может быть оформлено либо от руки, либо распечатано на принтере.

В тексте пояснительной записки должны быть обозначены: номер выполняемого задания, номера и названия разделов, номера и тексты каждой из задач. Решения задач необходимо снабдить подробным словесным пояснением и в случае необходимости графическими иллюстрациями.

I. Функциональная полнота систем булевых функций

1. Замыкание и замкнутые классы

1. Обосновать следующие свойства замыкания и привести примеры:

1. [[M]]=[M];

2. если MN, то [M][N];

3. [MN][M][N];

4. []=.

2. Является ли множество P замкнутым классом? Предполагается, что вместе с каждой функцией fP множеству P принадлежат все функции из Р₂, конгруентные f. Функции f₁ и f₂ называются конгруэнтными, если одна из них может быть получена из другой заменой переменных, исключая отождествление переменных. Например, функции и - конгруэнтные, а функции xy и zz не являются конгруентными.

1. P={0,1},

2. P={x},

3. P=

4. P= ,

5. P= ,

6. P={ },

7. P=

2. Выписать все, зависящие только от переменных х₁, х_2, х₃ и попарно неконгруентные функции из замыкания множества P. Функции f₁ и f₂ называются конгруэнтными, если одна из них может быть получена из другой заменой переменных, исключая отождествление переменных. Например, функции и - конгруэнтные, а функции xy и zz не являются конгруентными.

   1. P=

   2. P=

   3. P=

   4. P=

   5. P=

   6. P={(0000 0001)}.

4. Из системы D, полной для замкнутого класса M=[D], выделить базис:

1. D={0,1,x,x};

2. D={1, xyz1};

3. D={xy, xyz, xyz, (xy)z};

4. D={x1, xyz, maj(x,y,z)};

5. D={xyz, xyz, (xy)(yz), xy)z};

6. D={(xy)(yz), xy(yz)};

7. D=[xy, xy, xyzu, xy}.

5. Доказать, что предполный класс замкнут.

6. Является ли множество D замкнутым классом:

   1. D={0,1},

   2. D={x},

   3. D={1,x},

   4. D={x₁, x₁x₂, x₁x₂x₃, …, x₁x₂…x_n, …},

   5. D={0, x₁x₂…x_n, n>0},

   6. D={x₁x₂…x_n, n>0},

   7. D={0, x₁x₂x_2n, n>1}.

7. Всегда ли пересечение замкнутых классов является замкнутым классом?

8. Является ли замкнутым классом дополнение замкнутого класса? (Рассмотреть два случая: пустой класс и не пустой замкнутый класс.)

9. Всегда ли разность замкнутых классов есть замкнутый класс?

10. Сведением к заведомо полной в Р₂ системе показать, что множество D полно в Р₂.

1. D={xy},

2. D={xyz, (xy)z},

3. D={xy, },

4. D={0, maj(x,y,z), x^yz},

5. D={(1011), (1111 1100 1100 0000)}.

6. D={1,,};

7. D={,0};

8. D={};

10. Пусть М₁ и M₂ такие замкнутые классы в Р₂, что М₁\М₂. Привести примеры конкретных классов М₁ и М₂, которые удовлетворяли бы следующим условиям:

    1. М₁М₂=, М₂\М₁, [M₁M₂]=M₁M₂.

    2. M₁M₂, M₂\M₁, [M₁M₂]=M₁M₂.

    3. M₁M₂, [M₁\M₂]M₁\M₂,

    4. M₁M₂, M₂\M₁, [M₁\M₂]=M₁\M₂,

    5. M₁M₂, M₂\M₁, [M₁M₂]=M₁M₂.

12. Определить к каким предполным классам принадлежат следующие функции:

1. ((x  y)  (x  yz ))  ((y  z)  x ;

2. (x  y)  (y  z)  (z  y);

3. 

4. ((x & y)  (x &y)  z;

5. x & y & (x  z);

6. x & 1  y ( zt  0 ) xyz;

7. (x  y)  ((x  y)  (x  yz ));

8. (xy((y &z)  1)))  1;

9. maj (x,y,z)  x  y;

10. (x(yz))  (x (y  z)).