- •Введение
- •1. Математическая логика
- •1.1. Формальные модели
- •1.2. Логика высказываний
- •1.2.1. Основные теоремы логического вывода.
- •1.2.2. Семантические таблицы
- •1.2.3. Метод резолюций
- •1.3. Исчисление высказываний
- •1.3.1. Классическое исчисление высказываний
- •1.3.2. Исчисление секвенций
- •1.4. Корректность и полнота логического вывода
- •1.4.1. Корректность и полнота метода семантических таблиц
- •1.4.2. Корректность и полнота метода резолюций
- •1.4.3. Корректность и полнота аксиоматической системы вывода
- •1.4.3. Разрешимость и полнота исчисления высказываний
- •1.5. Логика предикатов
- •1.5.1. Исходные символы языка логики предикатов
- •1.5.2. Термы и формулы
- •1.5.3. Интерпретация в логике предикатов
- •Интерпретация термов
- •Интерпретация формул
- •Интерпретация атомных формул
- •Интерпретация формул с логическими связками.
- •Интерпретация формул, содержащих кванторы
- •1.5.4. Метод семантических таблиц
- •Для формул с кванторами
- •Для формулы с кванторами
- •Построение замкнутых семантических таблиц в логике предикатов
- •1.5.5. Подстановка термов в формулы
- •1.6. Исчисление предикатов
- •1.6.1. Классическое исчисление предикатов
- •Общезначимые эквивалентности логики предикатов
- •1.6.2. Исчисление секвенций
- •Правила вывода в исчислении предикатов
- •1.7. Канонические представления формул логики предикатов
- •1.7.1. Предваренная нормальная формула (пнф)
- •1.7.2. Сколемовская нормальная форма
- •1.8. Теоретико-множественное представление -формул
- •1.8.1. Эрбрановские интерпретации
- •1.8.2. Метод семантических деревьев
- •1.9. Унификация и резолюция в логике предикатов
- •1.9.1. Композиция подстановок
- •1.9.2. Унификация: неформальное описание
- •1.9.3. Метод резолюций в логике предикатов
- •Корректность и полнота исчислений логики предикатов Проблема разрешимости в логике предикатов
- •Корректность и полнота метода семантических таблиц
- •Корректность и полнота исчисления резолюций
- •Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов
- •2. Элементы теории алгоритмов
- •2.1. Предварительное обсуждение.
- •2.1.1. Понятие алгоритма
- •2.1.2. Основные требования к алгоритмам
- •2.1.3. О подходах к уточнению понятия алгоритма.
- •2.2. Машина Тьюринга
- •2.2.1. Соединение машин Тьюринга Композиция машин Тьюринга
- •Итерация машины по паре состояний
- •Разветвление машин Тьюринга
- •Эквивалентность машин Тьюринга
- •2.2.2. Понятие об алгоритмической неразрешимости
- •Библиографический список
1.4. Корректность и полнота логического вывода
Доказательства корректности и полноты методов, применяемых в логике высказываний, содержатся в [1, 2, 3, 4, 5,].
1.4.1. Корректность и полнота метода семантических таблиц
Теорема корректности. Если высказывание доказуемо по Бету, то оно логически истинно. Формальная запись:
├В ╞ .
Согласно определению, высказывание доказуемо по Бету, если семантическая таблица с помеченной формулой f в корне является противоречивой, т.е. противоречивы все ее ветви. Если высказывание не является логически истинным, то найдется интерпретация (множество логических значений атомов), для которой в семантической таблице обнаружится непротиворечивая ветвь . Однако в этом случае не доказуемо по Бету.
Теорема полноты. Если высказывание логически истинно, то оно доказуемо по Бету. Формальная запись:
╞ ├ В .
Значок ╞ означает общезначимость, т.е. ╞ означает, формула истинна во всех возможных интерпретациях. Если высказывание логически истинно, то для любой интерпретации I верно: I()=t.
Пусть высказывание общезначимо. Построим для него семантическую таблицу с корнем f(). Если высказывание не выводимо по Бету, то в таблице окажется хотя бы одна противоречивая ветвь. Это означает, что в некоторой интерпретации высказывание ложно, что противоречит общезначимости .
Следовательно, доказательство по Бету для обязано существовать.
Построение семантической таблицы для формулы гарантирует, получение для формулы либо доказательства, либо опровержения.
1.4.2. Корректность и полнота метода резолюций
Множество дизъюнктов S невыполнимо тогда и только тогда, когда существует резолютивный вывод пустого дизъюнкта из S.
Пусть из S существует резолютивный вывод пустого дизъюнкта. Докажем, что S невыполнимо. Поскольку резольвента R есть логическое следствие порождающих ее дизъюнктов Di и Dk, то конъюнктивное присоединение резольвенты R к конъюнкции дизъюнктов Di и Dk не меняет ее логическое значение. Если в множестве резольвент S имеется пустая резольвента (дизъюнкт ранга 0), то множество S невыполнимо, поскольку соответствующая множеству S КНФ содержит ложный логический сомножитель (дизъюнкция ранга 0 ложна по определению).
Полнота метода резолюций состоит в том, что он гарантирует получение для формулы пустой резольвенты, если множество дизъюнктов S невыполнимо. Если же пустая резольвента не найдена, то множество S не является невыполнимым.
1.4.3. Корректность и полнота аксиоматической системы вывода
Сформулируем теоремы корректности, полноты и компактности аксиоматических методов.
Теорема корректности и полноты. Высказывание выводимо из множества высказываний S тогда и только тогда, когда - логическое следствие S. Формальная запись:
S├ S╞ .
Теорема компактности. Множество высказываний S выполнимо тогда и только тогда, когда выполнимо каждое его конечное подмножество.
1.4.3. Разрешимость и полнота исчисления высказываний
Теорема о полноте исчисления высказываний. Каждая тождественно истинная формула выводима в исчислении высказываний.
Теорема об истинности доказуемых секвенций. Все доказуемые секвенции истинны.
Для каждой формулы ИС существует процедура, позволяющая определить, является ли данная формула теоремой или нет. Достаточно построить вывод, основанный на схеме аксиом и правилах вывода.
Разрешимость ИС означает существование решения для каждой формулы.
Непротиворечивость ИС означает, что не могут быть одновременно выводимы формула и ее отрицание.