1.9. Унификация и резолюция в логике предикатов

Когда предложение  представлено в виде множества дизъюнктов, приходится работать с переменными и сколемовскими функциями. С помощью семантических деревьев можно определить, выполнима ли данная формула на соответствующем эрбрановском универсуме. Эта процедура требует значительных затрат времени. Более того, ее нельзя представить в виде хорошо структурированного алгоритма, который можно было бы реализовать на компьютере. В логике высказываний был применен метод резолюций, позволяющий за конечное число шагов выяснить, является ли данное множество дизъюнктов противоречивым. В логике предикатов роль элементарных высказываний играют атомы, т.е. предикаты различной арности. При этом одноименные предикаты, которые могли бы участвовать в резолюции, могут иметь отличающиеся аргументы. Поэтому к ним нельзя применить метод резолюции непосредственно. Чтобы преодолеть это затруднение, в логике предикатов используют алгоритм унификации, основанный на подстановке термов вместо переменных, там, где это возможно.

Пусть   формула без кванторов, и   подстановка. Запись  обозначает результат замены каждого терма t в формуле  на t.

Алгоритм унификации должен найти такие подстановки термов в атомы дизъюнктов, которые сделают эти атомы тождественными. Например, чтобы атомы P(x) и P(a) стали тождественными, достаточно выполнить подстановку ={x/a}. В общем случае при выполнении подстановок необходимо соблюдать некоторые правила, которые будут рассмотрены ниже.

1.9.1. Композиция подстановок

Основной операцией на множестве подстановок является композиция.

Пусть имеются две подстановки ={u₁/s₁,… ,u_m/s_m} и ={v₁/t₁,,…, v_n/t_n}.

Композицией  и  называется подстановка ={u₁/s₁,…, u_m/s_m, v₁/t₁, …, v_n/t_n} \ ({u_i/s_i | u_i=s_i}  {v_i/t_i | v_i{u₁,…, u_m}}).

При выполнении композиции подстановок сначала применяется подстановка  в термы s₁,…, s_m подстановки , а затем полученная подстановка дополняется элементами множества . При этом отбрасываются элементы вида u_i/s_i, если терм s_i совпадает с u_i, и элементы вида v_i/t_i, если v_i{u₁,…, u_n}.

Пример. Рассмотрим две подстановки: ={x/f(y), y/z} (в качестве {u_i /s_i}) и ={x/a, y/b, z/y} (в качестве {v_i / t_i}).

Согласно определению композиция подстановок  и  имеет вид:

  ={x/f(y), y/z,x/a, y/b, z/y} \ ({u_i/s_i | u_i=s_i}{v_i/t_i | v_i{u_j}})=

= {x/f(b), y/y, x/a,y/b, z/y} \ ({y/y}{x/a, y/b}) = {x/f(b), z/y}.

Пример. Рассмотрим терм w(f(v₁), h(x), f(v₂), v₃) и подстановки

={v₁/f(g(x)), v₂/h(v₁), v₃/h(v₃)}, ={x/z, v₁/v₂, v₃/v₁}.

Определим композицию подстановок:

={v₁/f(g(x)) , v₂/h(v₁) , v₃/h(v₃) x/z, v₁/v₂, v₃/v₁} \ (  {v₁/v₂, v₃/v₁}) =

={v₁/f(g(z)), v₂/h(v₂), v₃/h(v₁), x/z}.

Следовательно,

w()=w(f(f(g(z))), h(z), f(h(v₂)), h(v₁)).

Отметим также, что

(w)= w(f(f(g(x))), h(x), f(h(v₁)), h(v₃))

=w(f(f(g(z))), h(z), f(h(v₂)), h(v₁))=t().

Из второго примера можно заключить, что операция композиции подстановок ассоциативна.

Для произвольных подстановок ,   и для произвольного терма t выполняются равенства:

1. Е =Е = ;

2. (t)  = t();

3. () = ().

Если S={C₁,…, C_k} – множество бескванторных формул логики предикатов, то множество S= {C₁,…, C_k} есть результат замены формул С_iS на формулы C_i,

Два множества формул без кванторов называются вариантами, если можно подобрать такие две подстановки  и , что S₁=S₂, а S₂ = S₁.

Пример. Множества дизъюнктов S₁={P(f(x,y)), Q(h(z),b)} и S₂={P(f(y,x)), Q(h(u), b)}, где b – константа, являются вариантами. Действительно, если ={x/y, y/x, z/u} и = {x/y, y/x, u/z}, то

S₁= {P(f(x,y)) , Q(h(z), b) } = {P(f(y,x)), Q(h(u),b)} = S₂,

S₂Ψ= {P(f(y,x)) Ψ, Q(h(u), b) Ψ } = {P(f(x,y)), Q(h(z), b)} = S₁.

Переименованием называется подстановка вида

{v₁/u₁,…, v_n/u_n},

где переменные.