5

Федеральное агентство по образованию Тверской государственный технический университет

Т.В. Асеева МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Учебное пособие

Первое издание

Тверь 2005

УДК 510(075.8)
ББК22.12я7
Асеева Т.В. Математическая логика и теория алгоритмов: учебное пособие, 1-е изд. Тверь: ТГТУ, 2005, 104 с.

Это учебное пособие способствует формированию знаний и умений, образующих теоретический фундамент для корректной постановки и решения задач в области информатики.

В первой главе рассмотрены определения формальных систем, задачи построения математических моделей процессов и явлений в произвольной предметной области с использованием логики высказываний, логики предикатов, исчисления высказываний и исчисления предикатов.

Вторая глава посвящена элементам теории алгоритмов. Понятие алгоритма рассмотрено на примере алгоритмической модели, известной как машина Тьюринга.

Учебное пособие предназначено для студентов специальности 22.01Электронные вычислительные машины, комплексы, системы и сети, изучающих дисциплину «Математическая логика и теория алгоритмов», а также может использоваться при изучении курса «Системы искусственного интеллекта».

Рецензенты:

Полтавцев А.А., начальник отдела информационно-аналитических систем ГУ Банка России по Тверской области, , к.т.н., доцент

Барулин А.В., зав. отделом ЗАО НИИ «Центрпрограммсистем», к.т.н.

 Тверской государственный технический университет, 2005

_{ОГЛАВЛЕНИЕ}

Введение 5

1. Математическая логика 6

1.1. формальные модели 6

1.2. Логика высказываний 8

1.2.1. Основные теоремы логического вывода. 15

1.2.2. Семантические таблицы 16

1.2.3. Метод резолюций 20

1.3. Исчисление высказываний 24

1.3.1. Классическое исчисление высказываний 24

1.3.2. Исчисление секвенций 27

1.4. Корректность и полнота логического вывода 32

1.4.1. Корректность и полнота метода семантических таблиц 33

1.4.2. Корректность и полнота метода резолюций 33

1.4.3. Корректность и полнота аксиоматической системы вывода 34

1.4.3. Разрешимость и полнота исчисления высказываний 34

1.5. Логика предикатов 34

1.5.1. Исходные символы языка логики предикатов 35

1.5.2. Термы и формулы 36

1.5.3. Интерпретация в логике предикатов 37

1.5.4. Метод семантических таблиц 47

1.5.5. Подстановка термов в формулы 53

1.6. Исчисление предикатов 55

1.6.1. Классическое исчисление предикатов 55

1.6.2. Исчисление секвенций 60

1.7. Канонические представления формул логики предикатов 65

1.7.1. Предваренная нормальная формула (ПНФ) 65

1.7.2. Сколемовская нормальная форма 66

1.8. Теоретико-множественное представление -формул 67

1.8.1. Эрбрановские интерпретации 68

1.8.2. Метод семантических деревьев 70

1.9. Унификация и резолюция в логике предикатов 74

1.9.1. Композиция подстановок 75

1.9.2. Унификация: неформальное описание 76

1.9.3. Метод резолюций в логике предикатов 79

Корректность и полнота исчислений логики предикатов 85

2. Элементы теории алгоритмов 88

2.1. Предварительное обсуждение. 88

2.1.1. Понятие алгоритма 88

2.1.2. Основные требования к алгоритмам 92

2.1.3. О подходах к уточнению понятия алгоритма. 93

2.2. Машина Тьюринга 95

2.2.1. Соединение машин Тьюринга 102

2.2.2. Понятие об алгоритмической неразрешимости 103

Библиографический список 105

Введение

Курс «Математическая логика и теория алгоритмов» является одним из важнейших компонентов федерального государственного образовательного стандарта по направлению «Информатика и вычислительная техника»; входит в естественнонаучный цикл дисциплин российской высшей школы; способствует формированию знаний и умений, которые образуют теоретический фундамент, необходимый для корректной постановки и решения проблем в области информатики. Особое внимание уделено использованию обозначений математической логики для записи математических суждений, логическим законам и началам теории алгоритмов.

Математическая логика пользуется языком математических и логических знаков, исходя из того, что они могут совсем заменить слова обычного языка и принятые в обычных живых языках способы объединения слов в предложения. Начало созданию того математического аппарата, который теперь мы называем логикой высказываний, положил Джордж Буль (1815-1864). В двадцатых годах XX века с программой обоснования математики на базе математической логики выступил знаменитый математик Гилберт (1862-1943). С этого времени начинается современный этап развития математической логики, характеризующийся применением точных математических методов при изучении формальных аксиоматических теорий.

В математической логике предметом исследования часто оказываются математические теории, которые исследуются в ней в целом. В учебном пособии приведены теоремы корректности и полноты логики высказываний и логики предикатов, которые являются важными с точки зрения приложений аппарата математической логики.

Надо заметить, что роль логического исчисления как средства открытия новых истин даже в области математики долго оставалась более чем скромной. Зато символический язык математической логики оказался на границе девятнадцатого и двадцатого веков очень важным подспорьем в изучении логических основ математики, так как позволял избегать всякой неточности мысли, которая легко возникает при использовании слов обычного языка, смысл которых дается не точным определением, а созданием привычки к принятому словоупотреблению.

С середины ХХ века в связи с появлением и бурным развитием электронных вычислительных машин оказалось востребованным точное понятие алгоритма, сформулированное в математической логике. С точки зрения инженерной практики наиболее подходящее определение алгоритма связано с алгоритмической моделью, получившей название машины Тьюринга (по имени ее создателя).

1. Математическая логика

1.1. Формальные модели

Логика представляет собой науку о способах рассуждений. Математическая логика – это математическая дисциплина, которая изучает способы рассуждений, применяемые в математике, средствами самой математики.

Формальные модели позволяют адекватно отображать разнообразные предметные области и операции, применяемые при манипулировании данными. Методология таких моделей разрабатывается в формальных системах.

В формальной логике разрабатываются методы правильных рассуждений, представляющих собой цепь умозаключений в логически последовательной форме. Рассуждения в ней изучаются с точки зрения формы, а не смысла.

В формальной логике не рассматривается семантика предложений. Это является результатом применения операции абстрагирования к рассуждениям естественного языка. Абстрагирование широко используется в науке для исследования различных аспектов рассматриваемой проблемы. Современная парадигма научного исследования состоит в том, что формальное изучение любой проблемы начинается с замены реальных объектов их абстрактными представлениями (моделями), в которых отражены именно те свойства исходных объектов, которые мы хотим изучать. Абстрагирование позволяет строить формальные модели понятий, процессов и явлений реального мира и далее изучать их с помощью формальных же средств. Именно на основе научного подхода к решению инженерных проблем получены многие впечатляющие результаты в технике, в связи с чем давно укоренилась поговорка «Нет ничего практичнее хорошей теории».

Основными задачами формальной логики являются выявление противоречий в рассуждениях и изучение отдельных этапов рассуждений или выводов, когда строго шаг за шагом доказывается их правильность независимо от используемой интерпретации.

Формальная система представляет собой совокупность чисто абстрактных объектов (не связанных с внешним миром), в которой представлены правила оперирования множеством символов в чисто синтаксической трактовке без учета смыслового содержания.

Формальная система определена, если:

• задан конечный алфавит.

• определена процедура построения формул.

• выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами.

• задано конечное множество правил вывода, которые позволяют получать новые формулы из уже имеющихся формул и аксиом.

Пусть дано множество А, называемое алфавитом. Словом длины m над алфавитом А называется кортеж , где , в котором буквы могут повторяться. Если слово содержит m букв алфавита, то число m называется длиной слова.

Правильно построенное слово в алфавите А называется формулой.

Процесс формирования истинных слов в формальной теории состоит в следующем: выделяется некоторое множество слов, которые называются аксиомами теории, и указывается конечное множество отношений P между словами. Отношения между словами называются правилами вывода.

Выводом в формальной теории называется всякая последовательность слов , i,j,n N, 1 jn, такая, что для всех i,j слово есть либо аксиома, либо получено из какого-нибудь предыдущего слова по правилам вывода. Непосредственным следствием слова , j{1,2,…,n}по правилу Р называется слово , если существует отношение .

Слово выводимо, если существует вывод в формальной теории, в котором это слово является последним. Такой вывод называется доказательством. В этом случае слово является теоремой формальной теории. В частности всякая аксиома является теоремой. Если формула Т является теоремой, это обозначают: ├Т, читается: выводима Т.

Теоремой является любое высказывание, присутствующее в доказательстве.

Множество формул формальной системы вместе с множеством аксиом и правил вывода образуют формальный язык L. Формальный язык отличается от естественного тем, что его конструкции строятся по строго определенным правилам и не допускают двусмысленного толкования.

Под формальной теорией понимают множество слов языка L с выделенным в нем подмножеством истинных слов.

Построенная указанным способом формальная теория называется аксиоматической формальной теорией, исчислением или дедуктивной системой.

Говорят, что существует интерпретация формальной теории в содержательную, если имеется соответствие между словами формальной теории и объектами-утверждениями содержательной теории.

Формальную теорию, в которой понятие вывода определено указанным выше способом, называют каноническим исчислением Поста.