3. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Предположим, что исследуемая случайная
величина Х распределена по нормальному
закону с известным средним квадратическим
отклонением
,
и требуется по значению выборочного
среднего
оценить ее математическое ожидание
.
Будем рассматривать выборочное среднее
как случайную величину
а значения вариант выборки
как одинаково распределенные независимые
случайные величины
,
каждая из которых имеет математическое
ожидание а и среднее квадратическое
отклонение
.
При этом
.
Оценим вероятность выполнения неравенства
.
Применим формулу для вероятности
попадания нормально распределенной
случайной величины в заданный интервал.
Имеем
Тогда, учитывая, что
,
получим
где
.
Следовательно,
и предыдущее равенство можно переписать
в виде:
.
Таким образом, значение математического
ожидания а с вероятностью (надежностью)
γ попадает в интервал
,
где значение t
определяется из таблиц для функции
Лапласа так, чтобы выполнялось равенство
Пример. Найдем доверительный интервал
для математического ожидания нормально
распределенной случайной величины,
если объем выборки
;
,
а доверительная вероятность
Определим t, при котором
Тогда
или
доверительный интервал, в который
попадает а с надежностью 0,9.
4. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.
Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину
,
где
- выборочное среднее,
– исправленная дисперсия, п – объем
выборки. Эта случайная величина, возможные
значения которой будем обозначать t,
имеет распределение Стьюдента с
степенями свободы.
Так как плотность распределения Стьюдента
,
где
,
явным образом не зависит от а и
,
можно задать вероятность ее попадания
в некоторый интервал
,
учитывая четность плотности распределения,
следующим образом:
.
Отсюда получаем:
Таким образом, получен доверительный
интервал для а, где
можно найти по соответствующей таблице
при заданных п и
.
Пример. Пусть объем выборки
,
=
3,
Найдем доверительный интервал для а
при
Из таблицы находим, что
Тогда
,
или
доверительный интервал, в который
попадает а с вероятностью 0,99.
5. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения
нормального распределения.
Найдём для среднего квадратического
отклонения нормально распределенной
случайной величины доверительный
интервал вида
где s – исправленное
выборочное среднее квадратическое
отклонение, а для
выполняется условие:
Запишем это неравенство в виде:
или, обозначив
,
в виде
.
(5.1)
Рассмотрим
случайную величину
,
определяемую по формуле
,
которая
распределена по закону «хи-квадрат» с
степенями свободы. Плотность ее
распределения
не зависит
от оцениваемого параметра
,
а зависит только от объема выборки п.
Преобразуем неравенство (5.1) так, чтобы
оно приняло вид
.
Вероятность выполнения этого неравенства
равна доверительной вероятности γ,
следовательно,
Предположим,
что
,
тогда неравенство (5.1) можно записать в
виде
,
или, после
умножения на
,
в виде
.
Следовательно,
.
Тогда
Существуют таблицы для распределения «хи-квадрат», из которых можно найти q по заданным п и , не решая этого уравнения. Таким образом, вычислив по выборке значение s и определив по таблице значение q, можно найти доверительный интервал (5.1), в который значение σ попадает с заданной вероятностью .
Замечание. Если
,
то с учетом условия
доверительный интервал для
будет иметь границы
.
Пример. Пусть п = 20, s
= 1,3. Найдем доверительный интервал для
σ при заданной надежности
=0,95.
Из соответствующей таблицы находим q
(n = 20, γ
= 0,95) = 0,37. Следовательно, границы
доверительного интервала: 1,3(1-0,37) = 0,819
и 1,3(1+0,37) = 1,781. Следовательно,
с вероятностью 0,95.