9.4 Многомерные случайные величины. Распределение двумерных случайных величин.
1. Понятие многомерной случайной величины
Упорядоченный набор
случайных величин называется многомерной
(
мерной)
случайной величиной (или системой
случайных величин,
мерным
вектором).
Например погода
в данном месте в определённое время
суток может быть охарактеризована
многомерной случайной величиной
,
где
температура,
влажность,
давление,
скорость
ветра и т.п.
Функцией
распределения
мерной
случайной величины
называется функция
,
выражающая вероятность совместного
выполнения
неравенств
,
т.е
.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением системы двух случайных величин.
2. Двумерные случайные величины и их функция распределения
Определение. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
Определение.
Функцией распределения системы
двух случайных величин называется
функция двух аргументов
,
равная вероятности совместного выполнения
двух неравенств
:
.
Свойства функции распределения системы двух случайных величин.
Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу:
.
2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице:
При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю:
4) Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.
5) Вероятность
попадания случайной точки
в произвольный прямоугольник со
сторонами, параллельными координатным
осям, вычисляется по формуле:
.
3. Плотность распределения системы двух случайных величин
Определение. Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:
.
Если известна плотность распределения, то функция распределения может быть легко найдена по формуле:
.
Двумерная плотность распределения неотрицательна и двойной интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:
.
По известной плотности совместного распределения можно найти плотности распределения каждой из составляющих двумерной случайной величины:
;
.
4. Условные законы распределения двумерной случайной величины
Как было показано выше, зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.
Однако на практике чаще стоит обратная задача – по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения.
В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами.
Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.
Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.
Определение. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.
Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.
Условная плотность распределения вычисляется по формулам:
;
.
Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.