2. Полное приращение и полный дифференциал
Определение.
Выражение
называется полным приращением
функции
в точке
.
Если функция имеет непрерывные частные производные, то
Применяя
теорему Лагранжа к выражениям, стоящим
в квадратных скобках, получим:
,
где
.
Находим
.
Так как частные производные непрерывны в точке , то справедливы равенства:
.
Определение.
Выражение
называется полным приращением
функции
в точке
,
где
и
– бесконечно малые функции при
и
соответственно.
Определение.
Полным дифференциалом функции
называется главная, линейная относительно
и
часть приращения функции
в точке
:
Для функции произвольного числа переменных имеем:
.
Пример.
Найти полный дифференциал функции
.
;
.
Пример.
Найти полный дифференциал функции
;
;
.
3. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
нормаль
N
касательная плоскость
Пусть
и
– точки данной поверхности. Проведем
прямую
.
Плоскость, проходящая через точку
,
называется касательной плоскостью
к поверхности, если угол между секущей
и этой плоскостью стремится к нулю,
когда точка
стремится к точке
по поверхности (стремится к нулю
расстояние
).
Определение. Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
Если поверхность
задана уравнением
,
где
– функция, дифференцируемая в точке
,
то касательная плоскость в точке
существует и определяется уравнением:
.
Уравнение нормали к поверхности в этой точке имеет вид:
.
Геометрическим
смыслом полного дифференциала функции
двух переменных
в точке
является приращение аппликаты (координаты
z) касательной плоскости
к поверхности при переходе от точки
к точке
.
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке
.
Находим:
;
Уравнение касательной плоскости имеет вид:
Уравнение нормали имеет вид:
4. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
Пусть функция дифференцируема в точке . Найдем полное приращение этой функции:
или
Если подставить в эту формулу выражение:
,
то получим приближенную формулу:
.
Пример.
Вычислить приближенно значение
,
исходя из значения функции
при
Из заданного выражения определяем = 1,04 – 1 = 0,04, = 1,99 – 2 = -0,01,
= 1,02 – 1 = 0,02.
Находим значение
функции
=
.
Определяем частные производные:
;
;
.
Полный дифференциал
функции
равен:
.
Приведём точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция
и её частные производные
и
определена в некоторой области D.
Если существуют частные производные
функций
и
по
и
в этой области, то они называются частными
производными второго порядка:
Аналогично
определяются частные производные более
высоких порядков от функции
в области
Определение.
Частные производные по различным
аргументам вида
и т.д. называются смешанными производными.
Теорема.
Пусть функция
в некоторой окрестности
точки
имеет частные производные
и смешанные частные производные второго
порядка
.
Если
непрерывны в точке
,
то они совпадают в этой точке, т.е. в
точке
выполняется соотношение:
.
Пусть функция
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
.
Её дифференциал
является функцией
переменной точки
и функций приращений
независимых переменных. Будем считать
приращения независимых переменных
постоянными , тогда дифференциал
станет функцией точки
и от него, в свою очередь можно брать
дифференциал, если этот дифференциал
существует.
Определение. Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала:
.
Аналогично определяются дифференциал третьего порядка от функции :
И вообще,
дифференциал
го
порядка от функции
:
.
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.