5.3 Геометрические приложения определённого интеграла

1. Вычисление площадей плоских фигур

у

+ +

0 a - b

x

Определенный интеграл от неотрицательной функции на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком и отрезками прямых Если график функции расположен ниже оси Ох, т.е. , то интеграл берётся со знаком “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. , то интеграл берётся со знаком “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Нахождение площади криволинейного сектора.

О

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид , где - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора находится по формуле:

.

2. Вычисление длины дуги кривой

y

a b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, находится по формуле .

Тогда длина дуги определяется формулой .

Из геометрических соображений имеем .

С другой стороны .

Тогда можно показать, что

.

т.е. .

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

,

где и .

Если задана пространственная кривая, и , и , то

.

Если кривая задана в полярных координатах, то

, .

Пример. Найти длину окружности, заданной уравнением .

1 способ. Выразим из уравнения переменную у: .

Найдем производную .

Тогда .

Находим . Получили известную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: , т.е. функция , . Тогда

.

3. Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений

x

Рассмотрим тело с объемом V . Пусть известна площадь любого поперечного сечения тела Q, выражаемая непрерывной функцией . Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки разбиения отрезка . На каждом отрезке разбиения функция непрерывна. Следовательно, принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно и .

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях как на диаметрах построить цилиндры с образующими, параллельными оси , то объемы этих цилиндров будут соответственно равны и , где .

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения наибольшего из отрезков разбиения , эти суммы стремятся к общему пределу:

Таким образом, объем тела находится по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию , что весьма проблематично для сложных тел.

Пример. Найти объем шара радиуса R.

R y

-R 0 x R x

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты этот радиус выражается по формуле .

Функция площадей сечений имеет вид: . Получаем объем шара:

.

Пример. Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

Q S

x H x

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению , где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды: .