4. Замена переменных в определённом интеграле
Пусть дан интеграл
,
где
– непрерывная функция на отрезке
.
Введем новую переменную
в соответствии с формулой
.
Тогда если
1)
,
2) функции
и
непрерывны на отрезке
3) функция
определена на отрезке
,
то
.
Тогда
Пример.
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.
Пример.
,
с другой стороны, если применить
тригонометрическую подстановку,
,
т. е. два способа
нахождения интеграла дают различные
результаты. Это произошло из-за того,
что не был учтен тот факт, что введенная
переменная
имеет на отрезке интегрирования разрыв
(в точке
).
Поэтому в данном случае такая подстановка
неприменима. При замене переменной в
определенном интеграле следует
внимательно следить за выполнением
перечисленных выше условий.
5. Интегрирование по частям определённого интеграла
Если функции
и
непрерывны на отрезке
вместе со своими производными, то
справедлива формула интегрирования по
частям:
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше.
6. Приближенное вычисление определенного интеграла
Существует большое число функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.
Формула прямоугольников
Если известны значения
функции
в некоторых точках
,
то в качестве функции аппроксимирующей
можно взять многочлен
степени не выше
,
значения которого в выбранных точках
равны значениям функции f(x)
в этих точках.
.
Разобьем отрезок
интегрирования на
равных частей и положим
.
При этом:
,
…. ,
.
Составим суммы
;
-
соответственно нижнюю и верхнюю
интегральные суммы. Первая соответствует
вписанной ломаной, вторая – описанной.
Тогда
или
-
любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.
Формула трапеций
Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников. Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную.
y
a
b x
Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.
Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:
;
.
После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:
