Раздел 5. Интегральное исчисление функции одной переменной

5.1 Неопределенный интеграл и методы его вычисления

1. Первообразная функция и неопределённый интеграл Основные свойства неопределённого интеграла и правила интегрирования

Для решения задачи нахождения по заданной производной самой функции служит операция интегрирования функций, являющаяся обратной по отношению к операции дифференцирования.

Дифференцируемая на некотором промежутке функция называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числа выполняется равенство:

. (1.1)

Теорема. Если функция является первообразной для функции на множестве , то совокупность всех первообразных для на этом множестве состоит из функций , где С - произвольная постоянная.

Доказательство. 1) Так как

, (1.2)

то при любом выборе постоянной С функция является первообразной для .

2) Пусть - произвольная первообразная для функции , т.е.

, . (1.3)

Рассмотрим функцию

. (1.4)

Имеем:

на множестве Х. В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях функция является постоянной: . Следовательно,

. (1.5)

Неопределенным интегралом от непрерывной функции , заданной на Х, называется множество всех первообразных для функции , определенных на этом множестве Х.

Обозначается: . Читается: «интеграл от икс дэ икс». По определению

, . (1.6)

Обычно фигурные скобки в правой части опускают и записывают (1.6) в виде:

, (1.7)

считая С произвольной постоянной.

Функция называется подынтегральной функцией, а дифференциал

(1.8)

- подынтегральным выражением. Знак называется знаком неопределенного интеграла, а переменная переменной интегрирования.

Из (1.7) непосредственно следует:

, , . (1.9)

Теорема. Справедливы следующие правила интегрирования функций:

(1.10)

, (1.11)

, (1.12)

. (1.13)

Доказательство. Дифференцируя левые и правые части этих равенств с учетом формул (1.9), приходим к одинаковому результату. Действительно,

1. 

2. , ;

3. , ;

4. , , ,

.

Правило (1.12) называется правилом «замены переменных», правило (1.13) называется правилом «интегрирования по частям».

2. Таблица основных формул интегрирования

Таблица неопределенных интегралов

Для доказательства правильности формул таблицы достаточно продифференцировать обе её части с использованием свойств неопределённого интеграла и формул дифференцирования и убедится в совпадении результатов.

Рассмотрим несколько примеров.

№1.

.

№2.

.

№3.

.

№4. .

№5.

.

№6.

.

№7.

.

№8.

.

№9.

Вычисляем

.

Получаем:

.

Следовательно,

, т.е. .

№10. , где - многочлен степени с действительными коэффициентами . Используя правила (1.10), (1.11) и таблицу (1.14), находим:

. (2.1)