Свойства бесконечно малых функций
Сумма конечнонго числа бесконечно малых при функций является функцией бесконечно малой при .
Произведение конечного числа бесконечно малых при функций является функцией бесконечно малой при .
Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную в некоторой окрестности точки является бесконечно малой функцией при .
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство
теоремы 2. Представим
,
,
где
,
тогда
,
где
,
– бесконечно малая функция. Следовательно
.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Представим , , где
, тогда
,
где
,
и
– бесконечно малые. Следовательно,
.
Теорема доказана.
7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Определение. Предел функции при , где - число, равен бесконечности, если для любого числа существует такое число , что неравенство
выполняется для всех , удовлетворяющих условию
.
Обозначение:
.
Если в приведенном определении заменить
условие
на
,
то получим:
а если заменить
на
,
то:
Графически приведенные выше случаи иллюстрируются следующим образом:
Определение. Функция называется бесконечно большой при , где – число или одна из величин , + или -, если , где А–число или одна из величин , +, -.
Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.
Теорема. Если
при
(
)
и не обращается в ноль, то
.
8. Сравнение бесконечно малых функций
Пусть
и
– бесконечно малые функции при
.
Обозначим эти функции
и
соответственно. Эти бесконечно малые
функции можно сравнивать по быстроте
их убывания, т.е. по быстроте их стремления
к нулю.
Например,
функция
стремится к нулю быстрее, чем функция
.
Определение. Если
,
то функция
называется бесконечно малой более
высокого порядка, чем функция
.
Определение. Если
,
то
и
называются бесконечно малыми одного
порядка малости.
Определение. Если
то
функции
и
называются эквивалентными бесконечно
малыми. Обозначение:
.
Пример. Сравним бесконечно малые при функции и .
,
т.е. функция – бесконечно малая более высокого порядка, чем .
Определение. Бесконечно малая
функция
называется бесконечно малой порядка
k относительно
бесконечно малой функции
,
если предел
существует, конечен и отличен от нуля.
Заметим, что
не все бесконечно малые функции можно
сравнивать между собой. Например, если
отношение
не имеет предела, то функции несравнимы.
Пример. Если
,
то при
,
т.е. функция
- бесконечно малая порядка 2 относительно
функции
.
Пример. Если
,
то при
не существует, т.е. функция
и
несравнимы.