2. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Пусть в точке и существует и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Теорема. Если , то функция в точке имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство. Пусть и . Так как функция непрерывна, то будет отрицательна в некоторой достаточно малой окрестности точки .

Так как , то убывает на интервале, содержащем точку , но , т.е. при и при . Это и означает, что при переходе через точку производная меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если , то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

3. Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба графика функции

Определение. Кривая называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если все ее точки лежат не выше (не ниже) любой ее касательной на этом интервале.

Теорема 1. Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, то кривая обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть . Проведем касательную к кривой в этой точке. Уравнение кривой: . Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для имеем , или .

По теореме Лагранжа для

Пусть тогда . Т.к. и и, кроме того по условию

. Следовательно, .

Пусть тогда и , , т.к. по условию то

.

Аналогично доказывается, что если на интервале , то кривая вогнута на интервале . Теорема доказана.

Определение. Точка, при переходе через которую направление вогнутости кривой меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если вторая производная или не существует и при переходе через точку меняет знак, то точка кривой с абсциссой является точкой перегиба.

Доказательство.

1) Пусть при и при . Тогда при

кривая выпукла, а при кривая вогнута, т.е. точка – точка перегиба.

1. Пусть при и при . Тогда при кривая обращена выпуклостью вниз, а при – выпуклостью вверх. Тогда – точка перегиба.

Теорема доказана.

4. Асимптоты графика функции

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой на бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении этой точки на бесконечность.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота .

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая – асимптота кривой .

Например, для функции прямая является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая имеет наклонную асимптоту .

M

N

P

Q

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте через М. Пусть Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N. Тогда – ордината точки кривой, - ордината точки N асимптоты.

По условию: , , . Угол - постоянный и не равен . Следовательно,

,

.

Тогда .

Следовательно, прямая – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов и .

В полученном выражении выносим за скобки :

.

Так как , то , т.к. , то .

Тогда . Следовательно,

.

Так как , то . Следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при .

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: : . Следовательно, - вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

,

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика функции. Построим график функции.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые и являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

,

– горизонтальная асимптота. Построим график функции.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Построим график функции.