Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

4.1 Функции. Предел функции

1. Понятие функции. Способы задания функции

Определение. Пусть - произвольное множество действительных чисел: . Говорят, что задана функция с областью определения D, если каждому числу из множества D поставлено в соответствие единственное действительное число . Обозначение:

.

Читается: « есть от . Число называется аргументом, число - значением функции при данном значении аргумента. Множество всех значений функции называется областью значений этой функции.

Определение. Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, где «пробегает» всю область определения .

Основными способами задания функции являются: аналитический (т.е. с помощью формулы, выражающей ), графический, табличный и словесный.

При аналитическом задании функции обычно считается, что область ее определения совпадает с областью допустимых значений (ОДЗ) аргумента в формуле . Например, областью определения функции

является множество .

Примером словесного задания функции является функция Дирихле: , если - иррациональное число, если - рациональное число.

Заметим, что числовая последовательность - это функция с областью определения . В этом случае вместо пишут просто .

2. Основные свойства функций

Функция с областью определения называется четной (нечетной), если для любого , выполняется равенство:

.

Функция с областью определения называется периодической, если существует действительное число такое, что, если и , то

для любого .

Наименьшее из таких чисел называется периодом функции .

Например, функции являются периодическими с периодом , а функции - также периодические, но с периодом .

Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых из А таких, что , выполняется неравенство

.

Функция возрастающая (убывающая) на множестве А называется монотонной на этом множестве.

Пусть - монотонная функция на множестве и - множество ее значений.

Функция с областью определения называется обратной по отношению к функции , если для любого из

.

Из этого определения следует, что график обратной функции получается симметрированием графика данной функции относительно биссектрисы 1^го и 3^го координатных углов.

Например, функций и – взаимно-обратные.

Пусть - функция с областью определения , а - функция с областью определения . Обозначим через множество тех значений аргумента , для которых . Тогда говорят, что на множестве определена сложная функция

.

Окрестностью точки называется всякий открытый интервал с центром в точке ; - окрестностью точки называется интервал .

Пусть - функция с областью определения . Точка называется точкой максимума (минимума), если существует -окрестность точки такая, что для всех из этой -окрестности выполняются неравенства:

(от лат. maximum - наибольшее, minimum - наименьшее).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (от лат. extremum - крайнее), а значения функции в этих точках - экстремумами функции.

В точках экстремума функция меняет область своего возрастания (убывания) на область убывания (возрастания), т.е. в окрестности точки максимума график функции - «холм», а в окрестности точки минимума - «впадина».

Наибольшим (наименьшим) значением функции в области называется такое число (число ), что для всех из . Если функция задана на отрезке и ее график в каждой внутренней точке имеет единственную касательную, то наибольшее (наименьшее) значение функции на есть максимальное (минимальное) из чисел , и значений функции во всех точках максимума (минимума) этой функции.