11. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Рассмотрим прямую в пространстве, проходящую через заданную точку , с направляющим вектором :

.

Пусть - произвольная точка этой прямой. Тогда выполняются равенства:

,

Решая совместно эти уравнения, получим:

-уравнение прямой, проходящей через две точки и в пространстве.

Замечание. Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

12. Общее уравнения прямой в пространстве

Уравнение прямой можно рассматривать как уравнение линии пересечения двух плоскостей. Плоскость в векторной форме задаётся уравнением

 ,

где - нормальный вектор плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости:  и  , нормальные векторы которых имеют координаты: , , а - радиус- вектор произвольной точки плоскости. Тогда общее уравнение прямой в векторной форме имеет вид:

Общее уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

Приведём уравнение прямой в общем виде к каноническому виду.

Для этого найдём координаты произвольной точки прямой и числа . При этом направляющий вектор прямой находится как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям

Пример. Найти каноническое уравнение прямой, если прямая задана в виде:

Для нахождения точки лежащей на прямой, положим . Тогда

, т.е. .

Находим компоненты направляющего вектора прямой

Каноническое уравнение прямой примет вид

3.3 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве

1. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (плоскостей)

Пусть в пространстве заданы две плоскости, векторы нормали которых имеют координаты , , и две прямые, направляющие векторы которых имеют координаты: , .

Условие параллельности двух прямых (плоскостей) есть коллинеарность их направляющих (нормальных) векторов:

, .

Условие перпендикулярности двух прямых (плоскостей) есть ортогональность их направляющих (нормальных) векторов:

Наконец, условием параллельности (перпендикулярности) прямой и плоскости есть перпендикулярность (параллельность) направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости:

.

2. Угол межу двумя прямыми (плоскостями)

Угол между двумя прямыми (плоскостями) определяется как угол между их направляющими (нормальными) векторами:

,

.

3. Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость:

.

4. Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Используя векторную алгебру, легко получить следующие формулы.

1) Расстояние от точки до плоскости :

.

2) Расстояние от точки до прямой, определяемой направляющим вектором :

.

3) Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, определяемых направляющими векторами :

.

Расстояние от точки до плоскости определяется как модуль ортогональной проекции вектора на направление вектора , где координаты точки М₀ определены формулами

.

51