5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой привести к виду:

,

и обозначить т.е. , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

6. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Определение. Каждый ненулевой вектор , компоненты которого удовлетворяют условию называется направляющим вектором прямой .

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через точку .

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

т.е. .

Тогда уравнение прямой имеет вид: , или .

при получаем , т.е. искомое уравнение имеет вид

11. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки

Рассмотрим прямую в пространстве, проходящую через заданную точку , с направляющим вектором :

.

Пусть - произвольная точка этой прямой. Тогда выполняются равенства:

,

Решая совместно эти уравнения, получим:

-уравнение прямой, проходящей через две точки и на плоскости.

Замечание. Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и . Имеем

.

7. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой то, разделив на , получим: или , где .

Геометрический смысл коэффициентов: коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой . Найти уравнение этой прямой в отрезках.

,

8. Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения разделить на число , называемое нормирующем множителем, то получим

–

нормальное уравнение прямой. Знак  нормирующего множителя следует выбирать так, чтобы где – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой Записать различные типы уравнений этой прямой. Уравнение этой прямой в отрезках:

или

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5):

нормальное уравнение прямой:

;

Заметим, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

Уравнение прямой имеет вид: , Значение не подходит по условию задачи. Следовательно, или

10. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору

Рассмотрим произвольную прямую в пространстве и вектор , параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. На прямой выберем две произвольные точки и .

Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что .

Так как векторы и коллинеарны, то выполняется соотношение , где t – некоторый параметр. Следовательно, . Так как этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение является параметрическим уравнением прямой. Полученное векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем каноническое уравнение прямой в пространстве:

.

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

; .

Откуда .

Числа называются угловыми коэффициентами прямой.

Так как - ненулевой вектор, то и не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.