Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры

3.1 Элементы векторной алгебры

1. Определение вектора. Линейные операции над векторами

Определение. Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором.

Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Определение. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или .

Определение. Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение:  .

Определение. Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение  (  ).

Определение. Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если  ,  = .

Легко проверить выполнение трех аксиом отношения эквивалентности для понятия равенства векторов:

1) , 2) , 3) и .

Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору .

Определение. Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора .

Обозначение:

.

Для двух векторов и указанное правило сводится к правилу треугольника, из которого следует правило параллелограмма.

Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Определение. Произведением действительного ненулевого числа  на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям:

Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е.

= , = .

Справедливы следующие свойства умножения вектора на число:

1. = + ; 2) = + ; 3)  = ,

справедливые для любых чисел и любых векторов , .

2. Декартова прямоугольная система координат. Базис декартова прямоугольной системы координат

Единичный вектор , т.е. вектор длины 1, определяет числовую ось , начало которой совмещено с началом вектора , а числу 1 соответствует конец вектора. Он называется базисным вектором оси.

Пусть - произвольный вектор, коллинеарный базисному вектору. Отложив вектор от начала оси, получим действительное число , определяемое на числовой оси концом отложенного вектора. Это число называется координатой вектора. Имеем

.

На координатной плоскости имеются два базисных вектора: на оси абсцисс, обозначаемый через , и на оси ординат, обозначаемый через .

Пусть - произвольный вектор на плоскости. Отложив вектор от начала координат мы однозначно определим упорядоченную пару действительных чисел и - координат конца отложенного вектора. Эти числа называются координатами вектора относительно базиса .

Так как , , то .

В координатном пространстве - три базисных вектора: - на оси абсцисс, - на оси ординат, - на оси аппликат. Пусть - произвольный вектор в пространстве. Отложив вектор от начала координат, мы получим упорядоченную тройку чисел - координаты конца М отложенного вектора. Эти числа называются координатами вектора относительно базиса . Так как

, ,

то

.

Замечание. Вектор с началом в начале координат и концом в точке М (прямой, плоскости, пространства) называется радиус-вектором точки М. Таким образом, декартовыми координатами вектора относительно данной системы координат называются координаты конца равного этому вектору радиус-вектора.

Из определения координат вектора непосредственно следует, что 1) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, 2) при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. В частности, справедлива формула:

утверждающая, что вектор, определяемый двумя заданными точками и равен разности радиус- вектора конца и радиус-вектора начала, т.е. для вектора справедливо правило: «конец минус начало»

Если на прямой даны три точки , и , причем и справедливо векторное равенство:

то говорят, что точка М делит отрезок в отношении . Причём

откуда находим:

Полагая получим координаты середины отрезка

т.е. они равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Пример. Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда . Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

;

;

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

;

Следовательно, координаты вектора в базисе , , :