Кинематика

s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).

Координатный способ: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t). Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.

Векторный способ: радиус-вектор = , модуль , направляющие косинусы: и т.д. Переход от координатного способа к естественному: . Скорость точки. Вектор скорости: ; . Проекции скорости: , , . Модуль скорости: , направляющие косинусы: и т.д.

Естественный способ: , , – орт касательной. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, =(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости .; x=rcos, y=rsin. Ускорение точки. . Проекции уск.-я: и т.д.

Модуль ускорения: , направляющие косинусы: , и т.д.

Проекции ускорения. на радиальное направление , поперечное направление , модуль ускорения . . Модуль нормального ускорения: ,  – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения ,  ,  .

Частные случаи движения:

1. Прямолинейное движение: = , а_n=0, a=a_.

2. Равномерное криволинейное движение: v=const, a_=0, a=a_n. s=s₀+vt.

3. Равномерное прямолинейное движение: а=a_=a_n=0.

4) Равнопеременное криволинейное движение: a_=const, v=v₀+a_t, .

Для вращательного движения:

Угловая скорость: , . Угловое ускорение тела: .

Равномерное вращение: =const, =t, =/t, равнопеременное вращение: =₀+t; . Скорости и ускорения точек вращающегося тела: .

v=rsin() = (ОM), (ОМ) – расстояние от точки М до оси вращения.

Формулы Эйлера: ,

v_x=_yz – _zy; v_y=_zx – _xz; v_z=_xy – _yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то v_x= – y; v_y=x. Ускорение: . Вращательное уск. , а^вр=rsin, центростремительное уск. , а^ц=²R. Полное ускорение: . Угол, между полным и центростремительным ускорениями: .

Плоское движение твердого тела, уравнения плоского движения: x_A= f₁(t), y_A= f₂(t),  = f₃(t).

Скорость ; , v_BA= BA, v_Acos = v_Bcos.

Мгновенный центр скоростей – Р: . , .

Ускорения: ,

. , , , .

Мгновенный центр ускорений – Q; , , .

Динамика

Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): . Дифференциальные уравнения движения материальной точки: ,

– дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, его общее решение:

x=f(t,C₁,C₂), начальные условия: t=0, x=x₀, =V_x=V₀.

– количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы.

теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме , или . – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д.

- момент количества движения материальной точки относительно центра О.

Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. , .

Если М_О= 0,  =const. =const, где – секторная скорость. Элементарная работа dA = F_ds, F_ – проекция силы на касательную к траектории, или dA = Fdscos. dA= – скалярное произведение; dA= F_xdx+F_ydy+F_zdz.

Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁:

. Если F=const, то = Fscos. , .

Работа силы тяжести: . A>0, если М₀ выше М₁.

Работа силы упругости: .

Работа силы трения: , F_тр=fN. Сила притяжения (тяготения): , k=gR². Работа силы тяготения: .

Мощность . Если N=const, то N=A/t.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В дифференциальной форме: . – кинетическая энергия материальной точки. В конечном виде: .