2. Экономико-математические методы и модели оптимального планирования в промышленности, апк (продолжение) Вопросы, изучаемые на лекции:

2.1. Понятие о симплексном методе

2.2. Построение начального опорного плана

2.3. Признак оптимальности опорного плана

1. Понятие о симплексном методе

Симплексный метод (симплекс-метод) является одним из универсальных методов решения линейной оптимизационной модели. Его называют так же методом последовательного улучшения плана.

Рассмотрим линейную оптимизационную модель с системой ограничений в канонической форме записи:

(2.1)

, i = , (2.2)

, j = . (2.3)

Из теоремы: «Линейная функция, определенная на выпуклом n‑мерном многограннике, достигает наибольшего значения в вершине этого многогранника. Если линейная функция достигает наибольшего значения более чем в одной вершине, то она достигает такого же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин» следует, что оптимальный план задачи (2.1)-(2.3) является одним из опорных решений системы (2.2). Это опорное решение, применяя симплекс-метод, мы и ищем, переходя от одного опорного решения к другому, при условии, что значение функции (2.1) возрастает (не убывает).

Суть метода: предположим, что в системе (2.2) m < n и все m уравнений линейно независимы: r = m < n. Тогда система (2.2) имеет бесконечное множество решений. Разрешаем систему (2.2) относительно базисных неизвестных (m < n):

, j = , (2.4)

и подставляя значения (2.4) в целевую функцию (2.1), получим:

, (2.5)

, (2.6)

. (2.7)

Отметим, что значения базисных переменных и целевой функции полностью определяется значениями свободных неизвестных .

Пусть в (2.4) все , тогда план , полученный при нулевых значениях свободных переменных , будет невырожденным опорным, а .

Опорный план соответствует базису . Если значение не оптимальное, то преобразовывают базис Б в новый базис Б , удаляя из Б одну переменную и вводя вместо нее другую из свободных неизвестных, так чтобы , где – опорный план в новом базисе Б . Преобразовывая один базис в другой, переходят от одного опорного плана к другому, и так как число опорных планов не более , то через конечное число шагов, либо приходят к базису , в котором достигает оптимума и тогда – оптимальный, либо устанавливают, что задача (2.1) - (2.3) неразрешима.

С геометрической точки зрения, перебор опорных планов можно рассматривать как последовательный переход из одной вершины многогранника планов к смежной, в которой значение целевой функции не меньше, чем в предыдущей вершине.

2. Построение начального опорного плана

Первым шагом симплексного метода является построение начального опорного плана. Для этого систему ограничений приводят к предпочтительному виду. Система ограничений имеет предпочтительный вид, если:

1) ограничения заданы в виде равенств;

2) правые части (системы ограничений) (2.2) неотрицательны, т. е. ;

3) если левая часть ограничения равенства содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, то в остальные ограничения равенства эта переменная входит с коэффициентом, равным нулю.

Например, в системе ограничений:

,

,

.

первое и второе ограничения имеют предпочтительный вид, третье – нет.

Если каждое ограничение (2.2) имеет предпочтительный вид, то ее опорное решение (базисное с неотрицательными координатами) строится следующим образом: все переменные, кроме предпочтительных, приравниваются к нулю. Тогда предпочтительные переменные будут равны правым частям. Полученный план будет иметь не более m отличных от нуля координат (число ненулевых координат равно рангу системы ограничений) и полученный план будет опорным. Предпочтительные переменные – это базисные переменные, другие переменные, которые приравниваем нулю – это свободные неизвестные.

Как же приводится система ограничений к предпочтительному виду?

1. Если система ограничений имеет вид:

, , ,

то прибавив к левым частям дополнительные переменные , , получим расширенную задачу, эквивалентную данной. В расширенной задаче система ограничений:

,

имеет предпочтительный вид. Начальный опорный план имеет вид:

= .

В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами равными нулю: , .

2) Если система ограничений имеет вид:

, , ,

то вычитая из левых частей неотрицательные дополнительные переменные , , получим расширенную задачу, эквивалентную данной. Полученная система ограничений не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные входят в левую часть с коэффициентами «–1». План недопустим. Поэтому вводят искусственный базис. К левым частям системы ограничений - равенств, не имеющих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные . В целевую функцию вводят с коэффициентом, равным (+М) в случае решения задачи на минимум, и с коэффициентом равным (–М) на максимум, где М – большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, она имеет предпочтительный вид и стратегически эквивалентна исходной.

3. Если исходная линейная оптимизационная модели имеет вид:

(2.8)

, , ; (2.9)

, j = ,

и если ни одно из ограничений не имеет предпочтительного вида, то М ‑ модель запишется в виде:

; (2.10)

, ; (2.11)

, j = , , ; (2.12)

где знак «–» в (2.10) относится к модели на максимум. Начальный опорный план М‑задачи, которая имеет предпочтительный вид, запишется:

.

Если в оптимальном плане М ‑ модели: все искусственные переменные равны нулю, то план

Является оптимальным для исходной модели. Если же хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной модели несовместна.

Так как исходную модель можно представить в предпочтительном виде, то будем считать, что линейная оптимизационная модель имеет предпочтительный вид:

; (2.13)

, , ; (2.14)

, j = . (2.15)

Разрешая систему (2.14) относительно базисных переменных , подставляем в (2.13), получим (2.5). Из (2.5)-(2.7) можно выяснить признак оптимальности опорного плана. Из (2.14) находим начальный опорный план , а из (2.13) значение целевой функции:

, где .

Так как , j = , то при целевая функция достигает минимального значения в точке . Если же , то в целевая функция достигает max: . Это видно из равенства .

Для решения линейной оптимизационной модели вручную условия заносят в таблицу, которая называется симплексной. Перед заполнением таблицы систему ограничений приводят к эквивалентному предпочтительному виду. В столбце БП записываются базисные переменные (т.е. предпочтительные) для каждого из ограничений равенств, в столбец - свободные члены системы ограничений в предпочтительном виде. Затем записываем свободные переменные (СП) со знаком минус. На пересечении строк и столбцов записываются коэффициенты системы ограничений. Последнюю строку, называемой индексной строкой (строкой целевой функции), заполняют коэффициентами целевой функции со знаком минус. Исходная симплексная таблица имеет вид:

Таблица 2.1

БП		СП
		… …
		… …
…	…	. . .
		… …
…	…	. . .
		… …
=		… …

, , , ;

или

, , .