Модели матричных игр со смешанными стратегиями игроков. Свойства смешанных стратегий
Рассмотрим матричную игру:
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
Обозначим через ,…, вероятности, с которыми игрок А использует чистые стратегии , …, . В силу свойств вероятностей:
.
(6.3)
Упорядоченное множество р = ( , …, ), элементы которого удовлетворяют условиям (6.3), полностью определяют характер игры игрока А и называется его смешанной стратегией. Итак, смешанной стратегией игрока А является полный набор вероятностей применения его чистых стратегий. Множество смешанных стратегий определяется случайным выбором чистых стратегий. Любая его чистая стратегия А может рассматриваться как частный случай смешанной стратегии, i-я компонента которой равна 1, а остальные равны нулю: р = (0; …; 1; …; 0).
Упорядоченное
множество q
= (
,
…,
),
элементы которого удовлетворяют
соотношениям
,
называются смешанной
стратегией
игрока В.
Применение
смешанных стратегий p
и q
игроками А
и В
означает, что игрок А
использует стратегию
с вероятностью
,
а игрок В
– стратегию
с вероятностью
.
Поскольку игроки выбирают свои стратегии
случайно и независимо друг от друга, то
вероятность выбора комбинации стратегий
(
,
)
будет равна
.
При использовании смешанных стратегий
игра приобретает случайный характер,
поэтому случайными будут и выигрыши
игрока А
и проигрыши игрока В.
Следовательно, можно вести речь лишь о
средней величине (математическом
ожидании) выигрыша (проигрыша). Эта
величина является функцией смешанных
стратегий p
и q
и определяется по формуле:
.
Функция
f(p;
q)
называется платежной
функцией
игры с матрицей
.
Смешанные
стратегии
,
назовем оптимальными
смешанными стратегиями
игроков А
и В,
если они удовлетворяют неравенству:
(6.4)
для
любых стратегий
и
.
Значение
платежной функции при оптимальных
стратегиях определяет цену игры v,
т. е.
.
В
седловой точке
платежная функция
достигает максимума по смешанным
стратегиям
игрока
и минимума по смешанным стратегиям
игрока
.
Рассмотрим
игру с матрицей
и предположим, что
и
– оптимальные смешанные стратегии
игроков и
–
цена игры. Проверку того, что набор
является решением, можно провести при
помощи теоремы 6.2.
Теорема
6.2. Для
того, чтобы смешанные стратегии
и
,
были оптимальными для игроков А и В в
игре с матрицей
и ценой v,
необходимо и достаточно выполнения
неравенств:
Кроме того, смешенные стратегии удовлетворяют еще следующим теоремам.
Теорема 6.3. В смешанных стратегиях любая конечная матричная игра имеет седловую точку.
Теорема 6.4. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, какую стратегию применяет другой игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стратегий.
Активные стратегии – это чистые стратегии игрока, входящие в оптимальную смешанную стратегию с вероятностями, отличными от нуля.
Из
теоремы 6.2 вытекает принципиальное
решение матричной игры: надо найти
неотрицательное решение (
,
,
…,
,
,
,
…,
,
v)
системы
линейных неравенств и линейных уравнений:
;
.
Отметим, что число активных стратегий игроков не превышает наименьшего из чисел m и n.
Решение матричной игры можно упростить, если воспользоваться доминированием одних стратегий над другими.
Говорят,
что стратегия
доминирует над стратегией
,
если элементы k-й
строки не меньше соответствующих
элементов s-ой
строки:
,
.
Выигрыш игрока А
в этом случае (при стратегии
)
больше чем при стратегии
,
какой бы стратегией не воспользовался
игрок В.
Стратегию
назовем доминирующей,
а стратегию
– доминируемой.
Аналогично и для столбцов:
если
элементы l-го
столбца не превосходят соответствующих
элементов r-го
столбца:
,
,
то игроку В
выгоднее применять стратегию
,
чем
,
так как он будет проигрывать меньше.
Поэтому стратегия
доминирует над стратегией
.
Стратегия
называется доминирующей,
стратегия
– доминируемой.
Если
,
,
или
,
,
то стратегии
и
,
и
называются дублирующими.
Пример 6.3. Выполнить возможные упрощения платежной матрицы:
Решение. Элементы первой и третьей строки соответственно равны. Поэтому одну из них можно удалить. Элементы второй строки не превышают соответственно элементов первой строки, поэтому удаляем вторую строку и приходим к матрице
Элементы первого столбца преобразованной матрицы больше соответствующих элементов второго столбца, элементы второго столбца больше соответствующих элементов третьего столбца; элементы третьего столбца больше соответствующих элементов четвертого столбца. Поэтому доминируемые первый, второй и третий столбцы опускаем. В результате получаем матрицу
.
Сравнивая
строки полученной матрицы, заключаем,
что элементы первой строки больше
соответствующих элементов второй
строки. Следовательно, первая строка
является доминирующей. Опуская вторую
строку, получаем матрицу
,
из которой следует, что наилучшей
стратегией для игрока
является чистая стратегия
.
Опуская доминируемую стратегию
игрока
,
получаем матрицу
.
Итак, получили матицу, состоящую из
одного элемента. Это объясняется тем,
что рассматриваемая матричная игра
имеет седловую точку
,
а полученный элемент 4 является седловым
элементом:
.
Таким образом, в результате упрощения
платежной матрицы нашли решение игры:
.
Такой же результат получим, если вместо
стратегии
рассмотреть стратегию
,
поскольку эти стратегии являются
дублирующими. Следовательно, оптимальными
чистыми стратегиями для игрока
являются стратегии
или
,
а для игрока
- стратегия
,
обеспечивающие наибольший выигрыш для
игрока
,
равный 4, и наименьший проигрыш игрока
.
Теорема
6.5. Пусть
и
– оптимальные смешанные стратегии
игроков А и В в игре I с матрицей
и ценой v. Тогда
и
будут оптимальными и в игре I' с матрицей
и ценой
,
где
.
Воспользовавшись этой теоремой матрицу:
можно упростить. Сначала разделить элементы матрицы на 100, а затем прибавить к полученным значениям 2:
элементы последней матрицы получены по формуле:
.