Раздел 4. Эндогенность, инструментальные переменные

Модель В. Объясняющие переменные являются стохастическими. Все предпосылки модели А сохраняются. Предположение (A.3) принимает вид E(ε|X) = 0  независимость распределения регрессионных остатков и факторов (факторы и остатки некоррелируют ). Все тестовые процедуры могут быть сохранены.

Распределение статистик критериев (тестовых статистик) можно найти с помощью двухшаговой процедуры. На первом шаге находим условное распределение при фиксированном значении матрицы X ; при этом значения объясняющих переменных рассматриваются как детерминированные (как в классической модели). На втором шаге мы получаем безусловное распределение соответствующей статистики, умножая условное распределение на плотность X и интегрируя по всем возможным значениям X .

Таким образом, если ошибка в i -м уравнении коррелированна хотя бы с одной из случайных величин xkj , то ни одно из условие (A.3) не выполняется. Например, это условие не выполняется, если в i -м уравнении какая-нибудь из объясняющих переменных коррелирована с ошибкой в этом уравнении. Последнее характерно для моделей с ошибками в измерении объясняющих переменных и для моделей одновременных уравнений.

Модель С. Модели, в которых некоторые объясняющие переменные коррелированы с ошибкой

Модели с ошибками в измерении объясняющих переменных

Рассмотрим модель порождения данных

со стохастической объясняющей переменной z , для которой

выполнены предположения:

Eui 0, Dui σ^, Eui |zi 0,

Предположим, что значение zi невозможно измерить точно, и в результате измерения вместо истинного значения zi наблюдается значение

xi = zi + vi ,

где v_i – ошибка измерения. Подобное положение может соответствовать, например, ситуации, в которой y_i – сбережения i -го домохозяйства, а z_i – располагаемый доход домохозяйства. Пусть

при этом выполнены следующие условия:

• E(v_i )= 0, D( v_i )=σ²,

• случайные величины ui и vi независимы:

• случайная величина vi не зависит от истинного значения zi .

В этом случае оценка наименьших квадратов не только имеет смещение при конечных , n но и несостоятельна, т.е. даже при неограниченном увеличении количества наблюдений не сходится к истинному значению по вероятности.

Автокорреляция остатков и лагированная зависимая переменная в качестве регрессора

Предположим, что модель задается уравнением:

Предположим также, что остаток подвержен автокорреляции

В этом случае остаток коррелирован с лагированной зависимой переменной.  МНК (а также обобщенный МНК, ОМНК) не дает состоятельных оценок.

Тест Дарбина-Уотсона не действителен для тестирования автокорреляции. Альтернативой является проверка на АК с помощью теста множителей Лагранжа Бреуши-Годфри-Погана.

Одновременность: кейнсианская модель

Рассмотрим кейнсианскую модель потребления

С_t - совокупное потребление (эндогенная, определяется внутри модели)

Y_t - совокупный доход (эндогенная, определяется внутри модели)

I_t - совокупные инвестиции (экзогенная, формируется под воздействием внешних факторов)

β – склонность к потреблению (0< β<1), в простейшем варианте модели Кейнса – постоянная величина

Подставим первое уравнение во второе, имеем:

Т.е. с ростом объема инвестиций I_t на единицу совокупный выпуск возрастает в среднем на единиц (инвестиционный мультипликатор Кейнса)

Но выпуск зависит также от случайной составляющей уравнения спроса ε_t

Таким образом, в первом уравнении фактор и случайная составляющая коррелируют, т.е. нарушается 4-е условие Гаусса-Маркова. Т.е. МНК-оценка будет смещенной и несостоятельной.

Модель Кейнса (простейший вариант): приведенная форма

Для получения приведенной формы надо все эндогенные переменные выразить через экзогенные

Коэффициенты δ называются коэффициентами приведенной формы. Через них выражаются коэффициенты структурной формы

• Оценки параметров структурной формы модели по МНК являются смещенными и несостоятельными

  • нарушаются условия Гаусса-Маркова, т.к. стоящие в правой части уравнения эндогенные переменные коррелируют со случайным фактором

• Оценки параметров приведенной формы модели по МНК являются несмещенными и состоятельными

• По найденным оценкам коэффициентов приведенной формы затем находят оценки коэффициентов структурной формы

• Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели

• С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

  • идентифицируемые;

  • неидентифицируемые;

• сверхидентифицируемые

Оценивание методом инструментальных переменных IV

Пусть

Если Cov(ui , xi ) ≠ 0, то можно попытаться найти какую-то другую переменную zi , для которой выполняется соотношение Cov(ui ,zi ) = 0, и кроме того Cov(xi , zi )≠ 0, то такую переменную называют инструментальной переменной, или просто инструментом. Наличие такой переменной позволяет получить состоятельную оценку коэффициента β при переменной

x в ситуации, когда x коррелирована с u. ε . Инструментальная переменная является экзогенной переменной, в том смысле, что она определяется вне связи с рассматриваемым уравнением

yi =α + β xi +ε i , тогда как переменная xi в рассматриваемом контексте является эндогенной переменной – она связана (коррелирована) с ошибкой в этом уравнении, так что значения xi устанавливаются совместно с u .

Обобщенный метод моментов

Читать.М.Вербик «Путеводитель по современной эконометрике». Гл.5