2.4. Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, описываемая уравнением второй степени относительно переменных x и y, т.е.

, (2.4.1)

где - некоторые константы.

В зависимости от значений коэффициентов графиками кривых второго порядка являются окружности, эллипсы, гиперболы и параболы.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом R, имеет вид

(2.4.2)

Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости окружность и может быть представлено в виде (2.4.2).

Характеристическое свойство окружности: все точки окружности удалены от одной, называемой центром, на одно и то же расстояние, равное радиусу R.

Пример 2.4.1. Найти координаты центра и радиус окружности

Р ешение: выделим в уравнении полные квадраты при переменных

- получили уравнение вида (2.4.2). Следовательно, координаты центра окружности , а радиус Δ

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

(2.4.3)

Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости эллипс и может быть представлено в виде (2.4.3). Числа и называются, соответственно, большой и малой полуосями эллипса. Точки и , где , называются фокусами эллипса. Точки называются вершинами эллипса.

Характеристическое свойство эллипса: для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

Пример 2.4.2. Составить уравнение прямой, проходящей через правый фокус и нижнюю вершину эллипса .

Решение: представим уравнение в виде (2.4.3)

Следовательно, - параметры эллипса, точка - правый фокус, а - нижняя вершина эллипса.

Рис. 7. Эллипс и прямая

Искомая прямая проходит через точки и , поэтому ее уравнение можно найти по формуле (2.1.3)

.

Таким образом, прямая, проходящая через правый фокус и нижнюю вершину эллипса имеет уравнение Δ .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(2.4.4)

Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости гиперболу и может быть представлено в виде (2.4.4). Числа и называются, соответственно, действительной и мнимой полуосями гиперболы. Точки и , где , называются фокусами гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы. Прямые, заданные уравнениями , являются асимптотами гиперболы.

Характеристическое свойство гиперболы: для любой точки гиперболы разность расстояний этой точки до фокусов по абсолютной величине есть величина постоянная, равная 2а.

Гипербола с уравнением или называется сопряженной к гиперболе с уравнением (2.4.4), имеет тот же осевой прямоугольник и асимптоты, но пересекает ось OY в точках и фокусы лежат на оси OY.

Пример 2.4.3. Построить гиперболу и найти расстояние от вершин гиперболы до асимптот.

Решение:

п реобразуем уравнение к каноническому виду (2.4.4)

Следовательно, . Построим осевой прямоугольник гиперболы – прямоугольник, стороны которого задаются уравнениями . Вершины гиперболы – точки . Фокусы гиперболы - . Диагонали прямоугольника – прямые - асимптоты гиперболы.

Рис. 8. Гипербола

Так как гипербола симметрична относительно осей OX и OY, то все расстояния от вершин до асимптот совпадают между собой и равны по формуле (2.1.11) расстоянию от точки до прямой (или - уравнение одной из асимптот гиперболы)

(ед.) Δ

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси OX, имеет вид

(2.4.5)

Число называется параметром параболы, вершиной является начало координат, фокус находится в точке , директриса параболы имеет уравнение . Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости параболу и может быть представлено в виде (2.4.5).

Характеристическое свойство параболы: для любой точки параболы расстояния от этой точки до фокуса и до директрисы равны между собой.

Рис. 9.Парабола

Уравнение вида

(2.4.6)

описывает параболу, симметричную относительно оси OY.

Пример 2.4.4. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку , OX – ось симметрии.

Решение: если парабола симметрична относительно оси OX и ее вершина - в начале координат, то каноническим уравнением является уравнение вида (2.4.5)

Так как точка принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Значит,

-

параметр параболы.

Каноническое уравнение параболы

Δ

Задача 1. Определить соответствие между кривыми и уравнениями линий:

1. гипербола

2. эллипс

3. окружность

4. прямая

5. парабола

Задача 2. Определить соответствие уравнений парабол и координат их вершин:

Задача 3. Построить эллипс с уравнением и прямую, проходящую через верхнюю вершину и левый фокус эллипса.

Задача 4. Построить гиперболу, одним из фокусов которой является точка с координатами (24;0), а уравнение одной из асимптот . Найти расстояние от фокусов гиперболы до асимптот.

Задача 5. Построить параболу с уравнением

Найти координаты вершины, фокуса, уравнение директрисы.