1.6. Собственные векторы и собственные значения матрицы

Вектор (матрица-столбец) X называется собственным вектором матрицы A, если существует такое число , что

(1.6.1)

Число при этом называется собственным значением матрицы A, соответствующим вектору X.

Равенство (1.6.1) можно записать в виде или

(1.6.2)

Полученное матричное уравнение представим в виде однородной системы линейных уравнений

(1.6.3)

Эта однородная система всегда имеет нулевое решение X=(0,0,…,0). Чтобы получить ненулевое решение необходимо найти собственные значения матрицы A из решения характеристического уравнения

(1.6.4)

и с каждым из них решить однородную систему (1.6.3).

Пример 1.6.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение: составляем характеристическое уравнение

или

и находим собственные значения матрицы A.

1. Для собственного значения однородная система (1.6.3) имеет вид

или

Полученная система эквивалентна одному уравнению и имеет множество решений вида или - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .

2. Для собственного значения однородная система (1.6.3) имеет вид

или

Полученная система эквивалентна одному уравнению и имеет множество решений вида или - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .

Ответ: 1) - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению , 2) - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .

З адача 1. Найти собственные векторы и собственные значения матриц

1.7. Линейная модель международной торговли

Рассмотрим n стран, национальный доход каждой из которых равен . Национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Обозначим - доля национального дохода страны j, потраченная на закупку товаров в стране i. Тогда для каждой страны j

(1.7.1)

Матрица коэффициентов вида

А=

называется структурной матрицей торговли. Выручка от внутренней и внешней торговли для страны i составит

и не должна превышать национальный доход страны

(1.7.2)

или для всех стран

,

в матричной форме

, (1.7.3)

где .

Для доказательства , предположим противное, т.е. или в виде системы неравенств

С ложим все неравенства системы

и перегруппируем

.

Учитывая, что суммы коэффициентов матрицы A по столбцам равны 1 (1.7.1), получим противоречивое неравенство

(1.7.3)

Следовательно,

(1.7.4)

Или X – собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .

Пример 1.7.1. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

Найти национальные доходы стран в сбалансированной системе международной торговли.

Решение: найдем собственный вектор X, отвечающий собственному значению (параграф 1.6), решая уравнение или систему (1.6.3) уравнений

методом Гаусса. Расширенная матрица системы имеет вид

Получили матрицу трапециевидной формы, выписываем соответствующую систему линейных уравнений и получаем ее общее решение , т.е. .

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при соотношении национальных доходов стран 1:3/8:3/4 или 8:3:6 Δ

Задача 1. . Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

Н айти национальные доходы стран в сбалансированной системе международной торговли.