Глава 1. Линейная алгебра

1.1. Матрицы, действия с матрицами

М атрицей называется прямоугольная таблица чисел. Для обозначения матриц используются заглавные буквы латинского алфавита A,B,C,D,F…Размерностью матрицы называется величина n×m, где n – число строк, а m – число столбцов матрицы A. Элементы матриц обозначаются прописными буквами латинского алфавита и имеют двойной индекс, например , где i – номер строки, j – номер столбца матрицы A, в котором находится элемент .

размерность матрицы 3×4,

элементы матрицы -

Главную диагональ матрицы составляют элементы с одинаковыми индексами , например, для рассмотренной матрицы элементы образуют главную диагональ матрицы A.

Матрица называется

• квадратной, если число строк n равно числу столбцов m (n=m),

• матрицей-строкой, если содержит только одну строку (n=1),

• матрицей-столбцом, если содержит только один столбец (m=1),

• диагональной, если она квадратная и ненулевыми элементами являются только элементы главной диагонали,

• единичной, если она диагональная и элементами главной диагонали являются единицы ( ),

• матрицей треугольного вида, если она квадратная и под ее главной диагональю все элементы – нулевые,

• матрицей трапециевидной формы, если она прямоугольная и под ее главной диагональю все элементы – нулевые.

Над матрицами можно совершать следующие действия:

• сложение матриц,

• умножение матриц на число,

• транспонирование матриц,

• произведение матриц друг на друга.

1. При сложении матрицы a размерности n×m и матрицы b размерности n×m получается матрица c размерности n×m, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц a и b, т.Е. .

Совпадение размерностей матриц A и B является необходимым условием сложения матриц.

Сложение матриц обладает свойством коммутативности, т.е. A+B=B+A.

Пример 1.1.1. Даны матрицы A и B. Необходимо найти матрицу C=A+B.

Решение: размерности матриц A и B совпадают и равны 3×2 . Следовательно, складывать их можно, при сложении получится матрица C размерности 3×2 .

Δ.

2. При умножении матрицы A размерности n×m на произвольное действительное число  получается матрица B

размерности n×m, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A и числа , т.е. .

П ример 1.1.2. Дана матрица A. Умножить матрицу на число 6.

Решение: Δ.

3. При транспонировании матрицы А размерности n×m получается матрица В размерности m×n, каждый элемент которой равен .

Пример 1.1.3. Дана матрица А. Необходимо ее транспонировать.

Решение: Δ.

4. При умножении матрицы А размерности n×m на матрицу В размерности m×k получается матрица С размерности n×k, каждый элемент которой равен сумме парных произведений элементов строки i матрицы А и столбца j матрицы В, т.е.

.

Необходимым условием умножения матриц друг на друга является равенство числа столбцов первой матрицы и числа строк второй матрицы.

Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, т.е. в общем случае , исключение составляют единичная Е и обратная матрицы, для которых .

Пример 1.1.4. Даны матрицы А и В. Найти произведение АВ.

, .

Решение: число столбцов матрицы А равно двум и совпадает с числом строк матрицы В, поэтому перемножать матрицы А и В можно, в результате получим матрицу С размерности 3×4:

,

где Δ

Действия над матрицами позволяют вычислять матричные выражения.

Пример 1.1.5. Даны матрицы А, В. Найти значение матричного выражения

Р ешение:

□

З адача 1. Даны матрицы и . Найти значение матричного выражения:

З адача 2. Даны матрицы и . Найти значение матричного выражения

З адача 3. Даны матрицы A и B. Доказать возможность и найти произведение матриц :