III. Задачи для упражнений
1.
– произвольный параллелепипед, О
– его центр, М
– середина
,
Р
– середина
.
а)
Докажите, что
.
б)
Не выполняя дополнительных построений,
найдите вектор
.
2.
М – точка
пересечения медиан
,
и
треугольника АВС.
Выразите вектор
через векторы
.
3. ABCD
– произвольный тетраэдр, Е
– середина ребра BD.
Выразите вектор
через векторы
.
4. Докажите, что
если
– медиана треугольника АВС,
то
.
5. Докажите, что
четырехугольник ABCD
является параллелограммом тогда и
только тогда, когда
.
6. Докажите векторным методом, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
7. Докажите, что
если A,
B,
C,
D,
E
и F
– середины сторон произвольного
шестиугольника, то
.
IV. Задачи для самостоятельного решения
1. Даны векторы
.
Постройте вектор
.
Рассмотрите два случая: а)
;
б)
векторы
попарно неколлинеарны.
2. ABCD
– произвольный тетраэдр, М
– середина ребра AD,
N
– середина ребра ВС.
Выразите вектор
через векторы
.
3. Векторы
соединяют вершину пирамиды с вершинами
ее основания. Векторы
соединяют ту же вершину с серединами
противоположных ребер. Докажите, что
4. В плоскости
взяты три точки А,
В,
М.
На отрезке АВ
взята точка
С такая,
что
.
Выразите вектор
через векторы
и
.
5. Докажите векторным
методом, что если М
– точка
пересечения медиан треугольника АВС,
то
V. Задание на дом
1.
– произвольная треугольная призма, Р
– середина ребра
.
Не выполняя дополнительных построений,
найдите вектор
2. ABCD
– параллелограмм,
О
– точка пересечения его диагоналей, Е
– середина стороны AD.
Выразите вектор
через векторы
3. Дан треугольник
АВС
и произвольная точка О
пространства, М
– точка пересечения медиан треугольника
АВС.
Докажите, что
.
4. Докажите векторным методом, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Занятие 6 Тема: «Базис. Координаты вектора в данном базисе»
Литература для самостоятельного изучения темы: [1], гл. II; [2], разд. I, гл. 2; [3], гл. 2; [4], гл. 2; [5], гл. I; [6], гл. I; [7], гл. 3; [8], гл. 3; [9], гл. 9; [10], гл. 10.
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение линейной комбинации векторов. Приведите пример линейной комбинации векторов.
2. Дайте определение базиса и ортонормированного базиса на плоскости и в пространстве.
3. Будут ли векторы
образовывать базис на плоскости и
почему?
4. Будут ли векторы
и
образовывать базис в пространстве и
почему?
5. Дайте определение координат вектора в данном базисе.
6. Найдите координаты векторов:
а)
в базисе
;
б)
в базисе
7. Как выражается
вектор
через базисные векторы
если он имеет в этом базисе следующие
координаты:
?
8. Чему равны координаты суммы векторов, разности двух векторов, произведения вектора на число, линейной комбинации векторов?
9. Даны векторы
Найдите координаты следующих векторов:
10. Сформулируйте условие равенства двух векторов, заданных своими координатами.
11. Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами.
12. Выясните, коллинеарны ли следующие пары векторов:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
