Занятие 2 Тема: «Определители и их свойства»
Литература для самостоятельного изучения темы: [1], гл. VII; [2], разд. I, гл. 2; [3], гл. 3; [4], гл. 3; [5], гл. V; [6], гл. VI; [7], гл. 1; [8], гл. 1; [9], гл. 10; [10], гл. 7.
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение
определителя второго порядка,
соответствующего матрице
2. Перечислите
элементы определителя
,
образующие:
а) главную диагональ; б) побочную диагональ.
3. Что произойдет с величиной определителя, если:
а) заменить его строки соответствующими столбцами;
б) к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число;
в) поменять местами две строки или два столбца;
г) элементы какой-либо строки или столбца увеличить в k раз, где k – действительное число?
4. Что вы можете сказать о величине определителя, если:
а) элементы какой-либо его строки или столбца равны 0;
б) элементы двух его строк или двух столбцов соответственно равны или пропорциональны?
5. Дайте определение определителя третьего порядка, соответствующего матрице
.
6. Чему равен определитель произведения двух квадратных матриц?
7. Дайте определение минора какого-либо элемента определителя.
8. Дайте определение алгебраического дополнения элемента аij данного определителя.
9. Чему равен определитель n-го порядка?
10. Дайте определения вырожденной и невырожденной матриц.
11. Как можно найти матрицу, обратную данной, с помощью алгебраических дополнений элементов данной матрицы?
12. Как можно найти матрицу, обратную данной, с помощью элементарных преобразований (метод Жордана)?
II. Типовые задачи с решениями
Задача 1.
Вычислите определитель
.
Решение. По определению определителя второго порядка
Ответ:
Задача 2.
Вычислите определитель третьего порядка
тремя способами:
1) с помощью определения;
2) с помощью разложения по элементам какой-либо строки (столбца);
3) преобразованием его с помощью свойств.
Решение.
1)
2) Разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:
3) Умножая первую
строку на
и прибавляя ко второй, затем умножая
первую строку на
и прибавляя к третьей, получаем:
Далее переставим местами вторую и третью строки:
И, наконец, умножая вторую строку на 2 и прибавляя к третьей, получим:
Ответ:
Замечание.
Определитель
в задаче 2 можно было вычислить и так:
сначала привести его к виду
а затем разложить по элементам первого
столбца.
Задача 3.
Вычислите определитель матрицы
Решение. Разложим данный определитель четвертого порядка по элементам первой строки:
Вычисляя определители
третьего порядка, находим:
Этот определитель можно вычислить путем его преобразований на основании свойств:
Ответ:
Задача 4.
Найдите матрицу, обратную матрице:
Решение. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как
,
то матрица А
имеет обратную
матрицу. Найдем алгебраические дополнения
элементов матрицы А:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Тогда
Ответ:
Задача 5.
С помощью элементарных преобразований
найти матрицу
,
обратную матрице
Решение.
Составляем матрицу
и преобразуем ее, приводя матрицу А
к единичной. При этом матрица Е
будет приведена к
:
Вторая матрица получена из первой в результате следующих элементарных преобразований: элементы первой строки умножены на (–1) и сложены с элементами второй строки, элементы первой строки умножены на (–2) и сложены с элементами третьей строки.
Умножив последнюю строку второй матрицы на (–1), получим третью матрицу.
Умножая третью строку на (–1) и прибавляя ко второй, а затем к первой строке, получаем четвертую матрицу. Умножая ее вторую строку на (–1) и прибавляя к первой строке, получаем пятую матрицу: слева от черты – единичная матрица, справа – матрица А–1, обратная исходной матрице А.
Ответ:
