II. Типовые задачи с решениями
З
адача
1. Составьте уравнение прямой, проходящей
через точку М(–3;2) и перпендикулярной
прямой d:
Решение. Первый
способ. Уравнение искомой прямой
запишем в виде
В качестве вектора нормали
искомой прямой можно взять направляющий
вектор
данной прямой d (рис.
25). Уравнение прямой l
примет вид:
Точка М(–3:2) лежит на этой прямой,
поэтому ее координаты должны удовлетворять
ее уравнению:
Итак, уравнение
прямой l имеет вид
или
.
Второй способ.
Можно воспользоваться уравнением
где вектор нормали прямой l
Получим:
Ответ: .
З
адача
2. Дан треугольник с вершинами P(2;–1),
Q(6;–4), R(10;3).
Найдите длину высоты, опущенной из точки
R.
Решение. Задача
сводится к вычислению расстояния от
точки R до прямой PQ
(рис. 26). Уравнение прямой PQ найдем
как уравнение прямой, проходящей через
две точки:
Отсюда имеем:
или
Теперь найдем
расстояние d от точки R(10;3) до
этой прямой:
Следовательно, длина высоты равна 8.
Ответ: 8.
Задача 3. Луч
света, направленный по прямой
отразился от оси абсцисс. Найдите точку
А пересечения луча с осью и составьте
уравнение отраженного луча.
Р
ешение.
Пусть
(ось абсцисс) (рис. 27). Найдем точку
пересечения луча с осью Ox,
т.е. точку пересечения прямых
и
Следовательно,
Найдем тангенс направленного угла между прямыми и
Тогда
Искомую прямую d
зададим уравнением
Найдем
.
или
откуда
Уравнение прямой
d примет вид:
Так как
то
откуда
Уравнение прямой
или
Ответ:
,
III. Задачи для упражнений
1. Точка А(2;–5)
является вершиной квадрата, одна из
сторон которого лежит на прямой
.
Вычислите площадь этого квадрата.
2. Вычислите расстояние между параллельными прямыми:
а)
и
б)
и
.
3. Определите
координаты точки, симметричной точке
М(–1;3) относительно прямой
.
4. Даны вершины
треугольника
и
;
его высоты пересекаются в точке N(5;2).
Определите координаты третьей вершины
.
5. Луч света направлен
по прямой
.
Дойдя до прямой
,
он отразился. Составьте уравнение
прямой, на которой лежит отраженный
луч.
6. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку Р(–2;3) на одинаковых расстояниях от А(5;–1) и В(3;7).
7. Составьте
уравнения биссектрис углов, образованных
прямыми
и
.
IV. Задачи для самостоятельного решения
1. Даны вершины треугольника А(–10;–13), В(–2;3) и С(2;1). Вычислите длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.
2. Даны две вершины А(3;–1) и В(5;7) треугольника АВС и точка N(4;–1) пересечения его высот. Составьте уравнения сторон этого треугольника.
3. Составьте
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин А(4;–1) и уравнения
двух биссектрис
и
.
4. Диагональ квадрата
расположена на прямой
.
Одна из его вершин находится в точке
А(4;–3). Составьте уравнения его
сторон и второй диагонали.
5. Составьте
уравнение биссектрисы угла между прямыми
и
,
смежного с углом, содержащим начало
координат.