2.Основные свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Сходящаяся последовательность ограничена
Теорема 2. Пусть
,
,
тогда: а)
;
б)
;в)
.
Теорема 3. Если
,
и для всех
выполняется неравенство
,
то
.
Теорема 4. Если
и последовательность
-ограниченная,
то
(произведение бесконечно малой на
ограниченную есть бесконечно малая).
Найти пределы:
21.
.
23.
.
25.
.
27.
.
29.
.
31.
.
33.
.
35.
.
37.
.
39.
.
22.
.
24. .
.
26.
.
28.
.
30.
32.
.
34.
.
36.
.
38.
.
40.
.
41.
.
42.
.
43.
.
44.
.
45.
.
46.
.
47
.
§3. Монотонные последовательности
Определение монотонных последовательностей.
Определение.
Последовательность
называется возрастающей, если
; неубывающей, если
; убывающей, если
; невозрастающей
.
Все также последовательности объединяются общим названием монотонные. Возрастающие и убывающие называются строго монотонными.
Примеры.
1. Последовательность
убывающая и ограниченная.
2. Последовательность
невозрастающая и ограниченная.
3. Последовательность
возрастающая и неограниченная.
4. Последовательность
неубывающая и неограниченная.
5. Последовательность
возрастающая и ограниченная.
Упражнения.
48. Доказать, что
последовательность с общим элементом
монотонно возрастающая.
49. Доказать, что
последовательность с общим элементом
монотонно
убывающая.
50. Доказать, что
последовательность
монотонно
возрастающая.
51. Доказать, что
последовательность
}
монотонно убывающая.
52. Доказать, что
последовательность
монотонно неубывающая.
53.Выяснить, монотонна
ли последовательность {
}
и есть ли у неё наибольший и наименьший
элементы.
54. Доказать, что
последовательность
монотонно возрастающая.
55. Доказать, что:
Последовательность {
}
монотонно убывающая.Последовательность {
}
монотонно возрастающая.Последовательность { } монотонно возрастающая и ограничена.
Последовательность {
}
монотонно убывающая и ограничена.Последовательность {
}
монотонно убывающая и ограничена.
Признак сходимости монотонных последовательностей.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
56. Доказать существование предела последовательности
.
57. Доказать существование предела последовательностей:
.
.
.
58. Доказать, что
последовательность {
}
сходится, и найти её предел.
59. Последовательность
задана рекуррентным соотношением
,
.
Доказать, что эта последовательность
сходится, и найти её предел.
60. Последовательность
задана рекуррентным соотношением
,
.
Доказать, что эта последовательность
сходится, и найти её предел.
61. Последовательность
задана рекуррентным соотношением
,
.
Доказать, что эта последовательность
сходится, и найти её предел.
62. Доказать, что
последовательность {
}
сходится, и найти её предел.
3. Число
Число
называется предел
.
Это число иррационально и приближено
равно
=2,71828… . Логарифмы с основанием е
называется натуральными и обозначаются
.
Найти пределы:
63.
64
65.
66.
67.
68.
69.
70 .
71.
72.
