3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Определение 5. Последовательность { } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство | |>A.
Пример2. Используя определение 5, доказать, что последовательность {n} является бесконечно большой.
Решение. Возьмем любое
число А>0. Из неравенства |
|=
|n|>A получаем
n>A. Если
взять N
A,
то для всех n>N
будет выполняться |
|>A
т.е. последовательность {n}
бесконечно большая.
Замечание. Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, 1, 4,…1, n, n+1, … не является бесконечно большой, поскольку при >1 неравенство | |>A не имеет места для всех элементов с нечетными номерами.
Определение 6.
Последовательность {
}
называется бесконечно малой, если для
любого положительного числа
существует номер N
такой, что при n>N
выполняется неравенство |
|<
.
Пример 3. Используя определение 6, доказать, что последовательность { } является бесконечно малой.
Решение. Возьмем любое
число
>0.
Из неравенства |
|=|
|<
получаем n>[
],
то для всех n>N,
будет выполняться |
|<
т.е. последовательность {
}
бесконечно малая.
Теорема. Если {
}
- бесконечно большая последовательность
,
то последовательность
{
}
=
, бесконечно малая , и, обратно, если {
}
–бесконечно малая последовательность,
0,
то последовательность {
}
=
бесконечно большая.
6. Доказать, что
последовательность {
}
является бесконечно большой.
7. Доказать, что
последовательности: 1) {-n};
2) {
};
3){(-1 *n}- является бесконечно большими.
8. Доказать, что
последовательность
}
является бесконечно малой.
9. Доказать, что
последовательности: 1) {
};
2) {
}
(k>0); 3) {
}
– являются бесконечно малыми.
10. Показать, что
неограниченная последовательность {
}
не является бесконечно большой.
11. Доказать, что
последовательность {
}
является: 1) бесконечно большой при
|a|>1;
2) бесконечно малой при |a|<1.
§2.Сходящиеся последовательности
1.Определение предела последовательности.
Определение. Число
а называется пределом последовательности
,
если для любого положительного числа
существует номер
такой, что при
выполняется равенство
При этом последовательность называется сходящейся, в противном случае расходящейся.
Обозначение:
или
при
.
Пример 1. Используя
определение предела, доказать, что.
Решение. Возьмем любое
число
Так как
,
то для нахождения
,
удовлетворяющих
,
достаточно решить неравенство
,
откуда получим
.
Если взять
,
то для всех
будет выполняться
,
т.е.
12. Доказать, что
13. Доказать, что
14. Доказать, что: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
15. Известно, что
.
Найти номер
,
начиная с которого выполняется неравенство
,
где
.
16. Доказать, что
последовательность
имеет своим пределом число 2.
17. Доказать, что
последовательность
имеет своим пределом число 0.
18. Доказать, что
Замечание. Если
последовательность
бесконечно большая, то пишут
.
Если при этом начиная с некоторого
номера
все элементы положительны (отрицательны),
то пишут
.
Говорят, что бесконечно большая
последовательность имеет бесконечный
предел.
19.Привести примеры
последовательностей
и
,
для которых
,
,
а произведение из
являлось последовательностью:
а)сходящейся; б)бесконечно малой;
в)бесконечно большой; г)расходящейся.
20. Привести примеры
таких последовательностей
и
,
что
,
и, кроме того: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
не существует.