Глава 7.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Определители
1.
Определители второго порядка. Определение
1. Определителем
второго порядка называется число,
обозначаемое символом
и определяемое
равенством
=
1b1-
2b2.
Числа 1, 2, b1, b2 называются элементами определителя.
Вычислить определители:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2. Определители третьего порядка. Определение 2. Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом.
Δ
=
и определяемое равенством
Δ=
b₂c₃+
b₁c₂
₃
+ c₁b₂
₃
- c₁b₂
₃
-
b₁
₂c₃
-
₁c₂b₃. (1)
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (1) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно использовать следующее правило треугольников:
Это правило позволяет легко записать формулу (1) и вычислить данный определитель.
Вычислить определители:
8.
.
9.
. 10.
.
11.
.
12.
. 13.
.
3. Свойства определителей.
Здесь сформулированы свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи и определителям любого порядка.
1⁰. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т.е.
=
.
2⁰. Перестановка двух столбцов или двух срок определителя равносильна умножению его на -1.
3⁰. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
4⁰. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.
5⁰. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
6⁰. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
7⁰. Если каждый элемент n-го столбца (n-й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (n-й строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые. Элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.
Например:
=
+
.
8⁰. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель λ, то величина определителя не изменится.
Например,
=
Следующее свойство определителей связано с понятиями минора и алгебраического дополнения.
Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Например,
минором элемента
определителя Δ является определитель
второго порядка
.
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умножаемый на (-1) ͪ, где h – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент.
Например,
если элемент
находится на пересечении первого
столбца и второй строки, то для него p
= 1 + 2 = 3 и алгебраическим дополнением
является
А=(-1)3
=b₃c₁+b₁c₃.
9⁰. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения, т.е.
Δ
=
A₁
+
A₂
+
A₃,
Δ =
A₁
+
b₁B₁
+
c₁C₁;
Δ = b₁B₁ + b₂B₂ + b₃B₃, Δ = A₂ + b₂B₂ + c₂C₂;
Δ = c₁C₁ + c₂C₂ + c₃C₃, Δ = A₃ + b₃B₃ + c₃C₃.
Запись определителя в виде одного из написанных равенств называется разложением его по элементам некоторого столбца или некоторой строки.
Пример. Вычислить определитель:
Δ
=
разлагая его по элементам первой строки.
Решение:
Имеем
Δ
= 2
- 4
+ 6
= 8
10⁰. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равна нулю.
В задачах 14-19, не раскрывая определителей, доказать справедливость равенств:
14.
= 0. 15.
= 0.
16.
= 0. 17.
= 0.
18.
=
. 19.
=
.
В задачах 20-25 вычислить определители, пользуясь только свойством 9⁰.
20.
. 21.
.
22.
.
23.
.
24.
. 25.
.
В задачах 26-34 упростить и вычислить определители.
26.
. 27.
.
28.
.
29.
.
30.
. 31.
.
32.
. 33.
. 34.
.
35. Решить уравнения:
1)
= 0; 2)
=
0.
36. Решить неравенства:
1)
< 1; 2)
> 0.
37. Доказать, что
=
.