3.5. Метод искусственного базиса

Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи линейного программирования, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств.

Рассмотрим задачу

В ограничения и в функцию цели вводят так называемые «искусственные переменные» следующим образом:

.

При введении искусственных переменных в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентомM. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна для составляющей , а другая для составляющей .

Рассмотрим процедуру решения задачи на конкретном примере.

Пример 3.3. Найти максимум функции при ограничениях:

.

Введем искусственные переменные в ограничения задачи

;

.

Функция цели .

Выразим сумму из системы ограничений: , тогда .

При составлении первой симплекс-таблицы (табл. 3.5) будем полагать, что исходные переменные являются небазисными, а введенные искусственные переменные – базисными. В задачах максимизации знак коэффициентов при небазисных переменных вF-строке иM-строке изменяется на противоположный. Знак постоянной величины вM-строке не изменяется. Оптимизация проводится сначала поM-строке. Выбор ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования осуществляются как в обычном симплекс-методе.

Максимальный по абсолютному значению отрицательный коэффициент (-4) определяет ведущий столбец и переменную , которая перейдет в базис. Минимальное симплексное отношение (2/3) соответствует второй строке таблицы, следовательно, переменная должна быть из базиса исключена. Ведущий элемент обведен контуром.		Т а б л и ц а 3.5
		Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
				х1	х2	х3
		R1 R2	3 2	2 1	3 0	1 3
		F	0	1	-2	1
		M	-5	-3	-3	-4

Искусственные переменные, исключенные из базиса, в него больше не возвращаются, поэтому столбцы элементов таких переменных опускаются.

Табл. 3.6. сократилась на 1 столбец. Осуществляя пересчет этой таблицы, переходим к табл. 3.7, в которой строка Mобнулилась, ее можно убрать. После исключения из базиса всех искусственных переменных, получаем допустимое базисное решение исходной задачи, которое в рассматриваемом примере является оптимальным:

Т а б л и ц а 3.6 Т а б л и ц а 3.7

Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные			Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
		х1	х2				х1
R1 x3	7/3 2/3	5/3 1/3	3 0		х2 х3	7/9 2/3	5/9 1/3
F	-2/3	2/3	-2		F	8/9	16/9
M	-7/3	-5/3	-3		M	0	0

Если при устранении M-строки решение не является оптимальным, то процедура оптимизации продолжается и выполняется обычным симплекс-методом.

Рассмотрим пример, в котором присутствуют ограничения всех типов .

Пример 3.4.Найти минимальное значение функции , при следующих ограничениях

.

Домножим первое из ограничений на (-1) и введем в ограничения дополнительные переменные и искусственную переменнуюR следующим образом:

Пусть и – базисные переменные, а – небазисные. Функция цели

В первой симплекс-таблице (табл. 3.8.) коэффициенты при небазисных переменных вF-строке иM-строке знака не меняют, так как осуществляется минимизация функции. Свободный член вM-строке берется с противоположным знаком.

Решение, соответствующее табл. 3.8, не является допустимым, так как есть отрицательный свободный член.

Выберем ведущий столбец и строку в соответствии с пунктом 2 алгоритма решения раздела 3.6. После пересчета получим табл. 3.9, будем осуществлять оптимизацию решения (пункт 5 алгоритма) вначале по M-строке. В результате введем в базис, а переменнуюRисключим из рассмотрения, сократив количество столбцов. После пересчета получим табл. 3.10, которая соответствует оптимальному решению задачи.

Т а б л и ц а 3.8 Т а б л и ц а 3.9

Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные				Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
		х1	х2	х3				х4	х2	х3
х4 R х5	-6 4 5	-2 1 1	-1 -1 1	3 2 1		х1 R х5	3 1 2	-1/2 1/2 1/2	1/2 -3/2 1/2	-3/2 7/2 5/2
F	0	2	3	-1		F	-6	1	2	2
M	-4	-1	1	-2		M	-1	-1/2	3/2	-7/2

Искомый минимум функции равен свободному членуF-строки табл. 3.10, взятому с обратным знаком, так как

Т а б л и ц а 3.10

Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
		х4	х2
х1 х3 х5	24/7 2/7 9/7	-2/7 1/7 1/7	1/7 -3/7 11/7
F	-46/7	5/7	20/7
M	0	0	0