Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Белорусский государственный университет информатики

и радиоэлектроники»

Кафедра автоматического управления

Математические основы теории систем

конспект лекций

по курсу «математические основы теории систем»

для студентов специальности 53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах» всех форм обучения

В 2-х частях

Часть 2

Минск 2005

УДК 519.85 (075.8)

ББК 22.18 я73

П 12

Рецензент:

профессор кафедры электротехники Военной академии Республики беларусь, канд.техн наук В.Е. Гурский

Павлова А.В.

М

П 12

атематические основы теории систем: Конспект лекций по курсу «Математические основы теории систем» для студ. спец. 53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах»всех форм обучения / А.В.Павлова.– Мн.: БГУИР, 2005.– с.

ISBN 985-444-495-3

Методическое пособие предназначено для студентов третьего курса и содержит сведения об основных методах оптимизации, используемых при решении технических задач и задач организационно-экономического управления. Рассмотрено линейное, квадратичное и нелинейное программирование, значительное внимание уделено вопросам линеаризации нелинейных задач. Изложены основы динамического программирования и принципа максимума Понтрягина. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами решения задач.

УДК 519.85 (075.8)

ББК 22.18 я 73

ISBN985-444-495-3 © А.В. Павлова, 2005

© БГУИР, 2005

Введение. Прикладные возможности методов оптимизации

Методы оптимизации находят широкое применение в различных областях науки и техники. Существенные успехи достигнуты в проектировании отдельных элементов, устройств и систем, в решении задач организационно-экономического управления, планировании стратегий капитальных вложений и т.д.

В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, которые позволяют найти наилучший вариант из множества альтернатив и избежать при этом полного перебора и оценивания возможных решений. Знание методов оптимизации является необходимым для инженерной деятельности при создании новых, более эффективных и менее дорогостоящих систем, а также при разработке методов повышения качества функционирования существующих систем.

При постановке задачи оптимизации необходимо осуществлять выбор критерия, на основе которого можно оценить наилучший проект или множество наилучших условий функционирования системы. Критерии оптимизации могут основываться на технологических факторах, когда требуется минимизировать количество потребляемой энергии, максимизировать надежность или точность, обеспечить максимальное быстродействие, или на экономических факторах, когда требуется максимизировать прибыль, минимизировать затраты или издержки в единицу времени и т.п. В любом случае с математической точки зрения требуется найти максимальное или минимальное значение некоторой функции или функционала, представляющих собой математическую модель требования качества.

Главная задача курса заключается в том, чтобы познакомить студентов с прикладными возможностями методов оптимизации, с тем, в каких случаях и какие методы следует применять для того или иного класса экстремальных задач, возникающих на разных этапах проектирования. Большое внимание уделяется вопросам постановки задачи и построения модели, подготовке к решению, выбору первого приближения к экстремальной точке, выбору стратегии оптимизации и т.д. Будут рассматриваться только однокритериальные задачи, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии. Преимущество отдается наиболее предпочтительному критерию, а остальные учитываются как ограничения задачи.