Задача № 3 расчет сложной цепи постоянного тока методом контурных токов

Для электрической цепи постоянного тока (рис. 2.1), используя данные, приведенные для данного варианта задания в табл. 2.1, определить токи – в ветвях резисторов – методом контурных токов, режимы работы источников питания, составить баланс мощностей. ЭДС и напряжения источников, сопротивления резисторов и положение выключателей для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 2.1. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Ход решения задачи

Метод контурных токов выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путём исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа.

Указанная процедура достигается за счёт введения обобщённых переменных, так называемых контурных токов, относительно которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.

Порядок расчёта рассмотрим на примере схемы рис. 3.1.

Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа

m – (n – 1) = 6 – (4 – 1) = 3,

где n – число узлов; m – число ветвей.

Число уравнений равно числу неизвестных контурных токов. В нашем случае – три уравнения. Обозначим контурные токи , и . Выбираем направление контурных токов совпадающих с направлением вращения часовой стрелки. Номера контуров совпадают с индексами контурных оков. Отметим, что во второй, четвёртой и пятой ветвях текут по два контурных тока. Составляем систему из трёх уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтём падение напряжения на резисторных элементах от каждого контурного тока, текущего по нему.

Рис. 3.1. Расчётная схема сложной электрической цепи

Направление обхода контуров выберем совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. Первое уравнение соответствует первому контуру, второе – второму и т.д.

В результате, система имеет вид

.

После решения этой системы уравнений действительные токи ветвей определяются по найденным контурным токам:

, , , , , .

Отметим, что при определении токов , и учитывалось, что контурный ток, совпадающий с током в ветви, берётся со знаком «+», не совпадающий – со знаком «–». При этом значения контурных токов подставляются в формулы со своим знаком.

Задача № 4 расчет сложной цепи постоянного тока методом наложения

Определить токи в ветвях, режимы работы источников, проверить соблюдение баланса мощностей в электрической цепи постоянного тока (рис. 4.1, а). ЭДС источников питания и , их внутренние сопротивления и , сопротивления резисторов – , а также схема включения резисторов на участке 2 – 3 цепи (ограниченная пунктиром) (рис. 4.1, б – е) для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 4.1. Задачу решить методом наложения.

а д	б
	в
	г
	е

Рис. 4.1. Варианты электрической цепи к задаче № 4

Ход решения задачи

Метод наложения (метод суперпозиции) применяется для расчета сложных электрических цепей постоянного тока несколькими источниками энергии. Наиболее целесообразно применять его при небольшом числе источников. По сравнению с другими методами он имеет преимущества в тех случаях, когда не требуется полный расчет цепи, а можно ограничиться, например, только определением токов на участках электрической цепи с источником питания.

Таблица 4.1

Исходные данные к задаче № 4

Вариант	Величины											Схема
	, В	, В	, Ом	, Ом	, Ом	, Ом	, Ом	, Ом	, Ом	, Ом	, Ом
1	80	90	0,1	0,05	4	6	3	10	10	10	10	Рис. 4.1, а
2	85	95	0,1	0,05	1	2	2	12	12	12	12	Рис. 4.1, а
3	90	100	0,1	0,05	2	2	2	16	16	16	16	Рис. 4.1, а
4	95	105	0,1	0,05	2	4	3	20	20	20	20	Рис. 4.1, а
5	100	110	0,1	0,05	2	4	3	24	24	24	24	Рис. 4.1, а
6	105	115	0,1	0,05	2	3	4	2	2	1	2	Рис. 4.1, б
7	110	120	0,1	0,05	2	3	3	4	4	2	4	Рис. 4.1, б
8	115	125	0,1	0,05	2	3	3	5	5	2,5	5	Рис. 4.1, б
9	120	130	0,1	0,05	2	4	3	8	8	4	8	Рис. 4.1, б
10	125	135	0,1	0,05	1	2	1	10	10	5	10	Рис. 4.1, в
11	130	140	0,15	0,1	4	6	6	3	2	1	3	Рис. 4.1, в
12	135	145	0,15	0,1	3	5	5	6	5	1	6	Рис. 4.1, в
13	140	150	0,15	0,1	2	4	3	9	5	2	9	Рис. 4.1, в
14	145	155	0,15	0,1	1	2	3	15	10	5	15	Рис. 4.1, г
15	150	160	0,15	0,1	1	2	2	18	10	8	18	Рис. 4.1, г
16	155	165	0,2	0,15	2	3	4	2	3	2	2	Рис. 4.1, г
17	160	170	0,2	0,15	1	2	1	3	3	3	3	Рис. 4.1, г
18	165	175	0,2	0,15	1	2	1	4	4	4	4	Рис. 4.1, д
19	170	180	0,2	0,15	1	2	1	5	5	5	5	Рис. 4.1, д
20	175	185	0,2	0,15	1	1	1	6	6	6	6	Рис. 4.1, д
21	80	85	0,1	0,05	1	2	1	2	3	3	3	Рис. 4.1, д
22	85	90	0,1	0,05	2	2	3	1	3	3	3	Рис. 4.1, е
23	90	95	0,1	0,05	2	2	4	1	6	6	6	Рис. 4.1, е
24	95	100	0,1	0,05	0,5	0,5	0,5	2	9	9	9	Рис. 4.1, е
25	100	105	0,1	0,05	1	1	2	1	12	12	12	Рис. 4.1, е

Метод наложения заключается в том, что воздействие нескольких источников питания (ЭДС и напряжений) на электрическую цепь можно рассматривать как результат воздействия на нее каждого из источников независимо от воздействия других источников, имеющихся в данной электрической цепи. При этом в каждой из ветвей электрической цепи ток определяется как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней действием каждого из источников. В процессе расчета по методу наложения рассматриваемая электрическая цепь с несколькими источниками ЭДС и напряжений заменяется расчетными электрическими цепями с одним источником, число которых равно числу источников, действующих в электрической цепи. Другие источники питания, кроме рассматриваемого, при этом закорачиваются, т.е. удаляются из цепи.

В результате расчета каждой из этих преобразованных цепей определяются частичные токи от действия данного источника. Значение действительных токов ветвей определяется алгебраическим суммированием частичных токов в этих ветвях.

Применительно к исходной электрической цепи (рис. 4.2, а), на которой предварительно нанесены положительные направления токов в ветвях, на рис. 4.2, б, в приведены расчетные электрические цепи для частичных токов от действия ЭДС и .

а	б	в
Рис. 4.2. Сложная электрическая цепь постоянного тока (а) и совокупность двух схем для ее расчета методом наложения: б – от действия ЭДС Е1; в – от действия ЭДС Е2

При расчете этих цепей определяются частичные токи во всех ветвях. С учетом направления частичных токов и токов в ветвях исходной электрической цепи определяют действительные токи в ветвях рассматриваемой цепи путем наложения (алгебраического суммирования) частичных токов в ветвях: ; ; .

Правильность расчёта необходимо проверить по балансу мощностей. Суммарная мощность источников электрической энергии равна общей мощности, поглощаемой сопротивлениями нагрузки (потребителями) , входящими в состав цепи, т.е.

Относительная ошибка должна быть меньше наперёд заданного числа, например, 5 %: .