Тема 16. Фиктивные переменные в модели множественной регрессии.
При
составлении модели множественной
регрессии возникает необходимость
включения в модель фактора, имеющего
два и более качественных уровня. Например,
профессия, пол, и др. показатели. Чтобы
ввести такие переменные в модель им
должны быть присвоены те или иные
цифровые метки, т.е. качественные
переменные необходимо преобразовать
в количественные. Такого рода
сконструированные переменные в
эконометрике принято называть фиктивными
переменными. Например, по группе лиц
мужского и женского пола исследуется
зависимость потребления кофе
от цены
.
Уравнение регрессии:
.
Аналогично построены уравнения регрессии
для мужчин:
,
и женщин
.
Различия потребления кофе проявится в
различие средних характеристик
и
.
Вместе с этим сила влияния факторов на
результат в каждом из случаев может
быть приблизительно одинаковой, т.е.
.
В этом случае возможно построение общего
уравнения
,
где переменные
,
- фиктивные переменные, и могут быть
определены следующим образом:
и
При
этом фиктивные переменные
и
не могут одновременно принимать значения
1 или 0, т.е. если
,
то
,
и наоборот.
Из
общего уравнения могут быть получены
уравнения для мужского пола
и для женского пола
,
т.е. различие между этими уравнениями
вызвано различием
и
.
Применение МНК для оценивания параметров и модели при наличии фиктивных переменных и приводит к вырожденной матрице исходных данных, и к невозможности получения оценок параметров уравнения. Выходом из такой ситуации является переход к уравнению вида:
и
.
Предположим
что определено уравнение
,
теоретические значения потребления
кофе для мужчин могут быть найдены из
уравнения
,
а для женщин
.
Т.е. различия в уровне потребления
вызваны различиями свободных членов
уравнения.
В рассмотренном выше примере переменная может принимать только два состояния, которые были обозначены как 0 и 1. На практике количество градаций качественного фактора бывает более двух, поэтому в модель вводят несколько фиктивных переменных, число которых бывает меньше числа качественных градаций. Например, если какой-то фактор должен зависеть от трех качественных параметров, то используют две фиктивные переменные. При этом значение первой фиктивной переменной равно 1 при первом качественном параметре, значение второй переменной равно 1 при втором качественном параметре. Если значение обеих фиктивных переменных равно 0, то из этого следует наличие третьего качественного фактора.
Фиктивные
переменные можно также использовать и
в нелинейной модели. При этом они также
проходят процедуру линеаризации, а
затем вводится новая переменная.
Необходимо отметить, что возможны
построения регрессии только с помощью
фиктивных переменных. В этом случае
коэффициенты при фиктивных переменных
в модели, не содержащей других переменных
в модели, не содержащей других переменных,
характеризует влияние
- ого уровня фактора или, точнее,
- ого уровня фактора
.
При этом регрессионная модель по своему
содержанию будет тождественна
дисперсионной модели
-
наблюдение под номером
признака на
- ом уровне исследуемого фактора;
- среднее значение совокупности;
- эффект
- ого уровня, т.е.
;
- случайная ошибка, характеризующая
величину отклонения фактического уровня
от среднего значения,
.
Так же в этом случае совпадают величины факторной и остаточной суммы квадратов.