ЗМІСТ

1. ВСТУП 4

2. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ 5

3. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №1 10

4. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №2 16

5. Розв’язок. а) . Рівняння площини має вид: , тому отримаємо 21

6. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №3 22

7. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4 26

8. Типові завдання (з коментарем) 29

9. АУДИТОРНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА (АКР) 31

10. ДОМАШНЯ КОНТРОЛЬНА РОБОТА (ДКР) 44

11. Перелік теоретичних питань 44

12. Зміст завдань ДКР 45

13. ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДКР 46

14. ПРИКЛАД ТЕСТУ 55

15. ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ТА РІВНЯННЯ 57

16. СПИСОК ЛІТЕРАТЕРИ 59

ВСТУП

Згідно Болонського процесу в Україні відбувається трансформація освітнього та наукового простору. Невід’ємною частиною цього процесу є впровадження кредитно-модульної системи навчання.

Перелік розділів, з яких формуються модулі:

Розділ 1. Визначники та матриці;

Розділ 2. Векторна алгебра і аналітична геометрія;

Розділ 3. Аналітична геометрія в просторі;

Розділ 4. Лінійний простір та лінійні оператори;

Розділ 5. Вступ до аналізу;

Розділ 6. Диференційне числення функцій однієї зміної;

Розділ 7. Диференційне числення функцій багатьох змінних;

Розділ 8. Невизначений інтеграл;

Розділ 9. Визначений інтеграл;

Розділ 10. Диференціальні рівняння зі змінними коефіціентами;

Розділ 11. Диференціальні рівняння з постійними коефіціентами;

Розділ 12. Числові ряди та поняття функціонального ряду;

Розділ 13. Степеневі ряди і ряди Фур’є;

Розділ 14. Інтегральне числення функцій багатьох змінних;

Розділ 15. Елементи векторного аналізу;

Розділ 16. Диференційне і інтегральне числення функцій комплексної змінної;

Розділ 17. Інтегральне числення функції комплексної змінної;

Розділ 18. Операційне числення;

Розділ 19. Елементи математичної фізики;

Розділ 20. Елементи теорії ймовірностей;

Розділ 21. Елементи математичної статистики.

Оцінювання знань студентів по відповідному модулю здійснюється за допомогою комп’ютерного тестування (АКР), та захисту домашніх контрольних робіт (ДКР).

Дані методичні вказівки розраховані на самостійне засвоєння студентами матеріалу розділу “Аналітична геометрія в просторі”, а також можуть бути використані викладачами при проведенні практичних занять.

Методичні вказівки включають:

• короткі теоретичні відомості;

• практичні заняття по темам;

• набір тестових завдань (АКР);

• варіанти домашніх контрольних робіт (ДКР);

• теоретичні питання для захисту ДКР студентами.

Зміст практичних завдань по темам наступний:

Тема 1. Рівняння площини в просторі.

Тема 2. Рівняння прямої в просторі.

Тема 3. Пряма та площина в просторі.

Тема 4. Поверхні другого порядку.

Короткі теоретичні відомості

Аналітична геометрія в просторі займається вивченням рівнянь поверхонь, площин та просторових ліній.

В декартових координатах кожна площина визначається рівнянням першого степеня. Розглянемо на площині фіксовану точку і довільну точку . Окрім того, візьмемо вектор перпендикулярный до площини. Тоді і їх скалярний добуток дорівнює нулю.

– рівняння площини що проходить через точку перпендикулярно вектору .

Розкриваючи дужки, отримаємо

– загальне рівняння площини.

Поділивши всі члени рівняння на , отримаємо

– рівняння площини у відрізках по осям (вісям).

Три точки , , однозначно задають площину, рівняння якої має вид

Якщо точка не лежить на площині , то відстань між ними задається формулою

Кут між площинами обчислюється як кут між їх нормальними векторами по формулі

Якщо дві площини паралельні то виконується рівність

,

якщо перпендикулярні, то

Лінія перетину двох площин являється прямою. Це значить, що система двох рівнянь задає деяку пряму у просторі

– загальне рівняння прямої.

Якщо відомі координати точки що належить прямій і координати напрямного вектора – що проходить паралельно до неї, тоді рівняння прямої можливо представити у вигляді

– канонічне рівняння прямої.

Прирівнюючи останній вираз до параметра отримаємо

– параметричне рівняння прямої.

Якщо відомі координати двох точок і , що лежать на прямій, то із канонічного рівняння отримаємо

– рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Кут між прямими в просторі обчислюється як кут між їх напрямними векторами по формулі

Якщо дві прямі паралельні то виконується рівність

,

якщо перпендикулярні, то

Основним предметом вивчення в аналітичній геометрії являються поверхні, які задаються в декартовій системі координат алгебраїчними рівняннями другого степеня

Таке рівняння , в залежності від числових значень констант, може задавати одну з поверхонь, канонічні рівняння яких приводяться нижче.

1		еліпсоїд
2		однополосний гіперболоїд
3		двополосний гіперболоїд
4		конус
5		еліптичний параболоїд
6		гіперболічний параболоїд
7		параболічний циліндр
8		круговий циліндр
9		еліптичний циліндр
10		гіперболічний циліндр

Практичне заняття №1

Тема: Рівняння площини в просторі.

Мета: Засвоїти різні способи задання площин в просторі та навчитися використовувати їх для розв’язку задач.

План

1. Способи задання площин та зміст параметрів, що входять в рівняння.

2. Кут між площинами.

3. Умови паралельності та перпендикулярності площин.

4. Відстань від точки до площини.

5. Самостійна робота.

Завдання 1. Побудувати площини:

а) ,

б) ,

в) .

Розв’язок. а) . Перейдемо від загального рівняння площини до рівняння у відрізках по віссям . Для цього переносимо вільний член вправо і ділимо на нього все рівняння

, ,

, .

б) . Маємо частковий випадок, відсутня одна змінна. Оскільки рівняння не містить , то площина проходить паралельно вісі

, .

в) . Оскільки рівняння не містить змінних і , то шукана площина проходить паралельно координатній площині

, .

Завдання 2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , якщо .

Розв’язок. Використаємо рівняння площини, що проходить через задану точку: . В даному рівнянні – вектор площині. В нашому випадку . Враховуючи, що , отримаємо

, ,

.

Відповідь: .

Завдання 3. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки , , .

Розв’язок. Використовуючи рівняння площини, що проходить через три точки

,

маємо

, ,

,

,

,

.

Відповідь: .

Завдання 4. Скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до двох площин , .

Розв’язок. Для наглядності зробимо схематичний рисунок.

Будемо вважати, що – шукана площина, , – задані. Тоді нормальні вектори площин , запишуться у вигляді , і будуть розташовані паралельно площині . Візьмемо на площині довільну точку та утворимо вектор , який належить площині .

Таким чином, вектори , , виявляються компланарними, тому їх змішаний добуток дорівнює нулю.

,

.

Відповідь: .

Завдання 5. Знайти відстань між паралельними площинами

: ,

: .

Розв’язок. Візьмемо на площині довільну точку . Для цього задаємо будь-які дві координати і використовуючи рівняння площини знаходимо третю координату. Нехай , тоді , .

Використаємо формулу для знаходження відстані від точки до площини :

.

Відповідь: од.

Завдання 5. Знайти кут між площинами

: ,

: .

Розв’язок. Враховуючи, що кут між площинами визначається, як кут між їх нормальними векторами по формулі

,

отримаємо

,

.

Відповідь: .

Самостійна робота:

1. Побудувати площини

а) ,

б) ,

в) .

2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині .

3. Скласти рівняння площини, що проходить через точки , перпендикулярно площині .

4. З’ясувати взаємне розташування площин

а) паралельні,

б) перпендикулярні,

в) не паралельні и не перпендикулярні,

1) , ,

2) , ,

3) , .

Типові завдання (з коментарем)

Завдання 1. Знайти косинус кута між координатною площиною та площиною .

Розв’язок. Очевидно, що координатну площину можливо задати у вигляді , або . Координати нормального вектора площини : ; площини : .

Знайдемо кут між векторами , , який буде також кутом між площинами

.

Відповідь: .

Завдання 2. Скласти рівняння площини, що проходить через точки , перпендикулярно площині .

Розв’язок. Нехай точка належить шуканій площині. Тоді нормальний вектор площини : , та вектори , компланарні, тобто їх змішаний добуток дорівнює нулю

,

.

Відповідь: .

Завдання 3. Скласти рівняння площини, що проходить через точку , і відтинає на вісях і вдвічі більші відрізки, ніж на вісі .

Розв’язок. Рівняння площини у відрізках по вісям, має вид

,

В нашому випадку , тому

.

Враховуючи, що точка належить площині, її координати повинні задовольняти попередньому рівнянню

, , ,

.

Відповідь: .