Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гуманитарно-педагогическая академия (филиал КФУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВЕКТОР~1.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

5.4 Mб

Скачать

☆

1 / 171 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

ЗМІСТ

	ВСТУП.................................................................................................	4
	1. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА...……...............................................	7
	1.1 Теоретичні відомості...……………………………..	7
	1.2 Практична частина.......................................................	15
	Практичне заняття №1..............................................................	15
	Практичне заняття № 2............................................................	22
	1.3 Домашня контрольна робота (ДКР).......................................	27
	1.4 Теоретичні питання...............................................................	36
	1.5 Аудиторна контрольна робота (АКР).....................................	37
	1.6 Приклад тесту до АКР............................................................	46
	2 АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ…	48
	2.1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ…………............................	48
	2.2 ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА...…..…………………………	54
	Практичне заняття № 1……………………………………	54
	Практичне заняття № 2……………………………………	61
	Практичне заняття № 3………………………………	68
	Практичне заняття № 4…………………………….…………	75
	2.3 Домашня контрольна робота (ДКР)…………………………	81
	2.4 Теоретичні питання…………....................………………	93
	2.5 Аудиторна контрольна робота (АКР)..…..………………	94
	2.6 Приклад тесту до АКР……………….....……………………	113
	ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА………..…………..……	117

ВСТУП

Згідно Болонського процесу в Україні відбувається трансформація освітнього та наукового простору. Невід’ємною частиною цього процесу є впровадження кредитно-модульної системи навчання.

Перелік розділів, з яких формуються модулі:

Розділ 1. Визначники та матриці;

Розділ 2. Векторна алгебра і аналітична геометрія;

Розділ 3. Аналітична геометрія в просторі;

Розділ 4. Лінійний простір та лінійні оператори;

Розділ 5. Вступ до аналізу;

Розділ 6. Диференційне числення функцій однієї змінної;

Розділ 7. Диференційне числення функцій багатьох змінних;

Розділ 8. Невизначений інтеграл;

Розділ 9. Визначений інтеграл;

Розділ 10. Диференціальні рівняння зі змінними коефіцієнтами;

Розділ 11. Диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами;

Розділ 12. Числові ряди та поняття функціонального ряду;

Розділ 13. Степеневі ряди і ряди Фур’є;

Розділ 14. Інтегральне числення функцій багатьох змінних;

Розділ 15. Елементи векторного аналізу;

Розділ 16. Диференційне і інтегральне числення функцій комплексної змінної;

Розділ 17. Інтегральне числення функції комплексної змінної;

Розділ 18. Операційне числення;

Розділ 19. Елементи математичної фізики;

Розділ 20. Елементи теорії ймовірностей;

Розділ 21. Елементи математичної статистики.

Оцінювання знань студентів по відповідному модулю здійснюється за допомогою комп’ютерного тестування (АКР), та захисту домашніх контрольних робіт (ДКР).

Даний методичний посібник розрахований на самостійне засвоєння студентами матеріалу розділу “Векторна алгебра і аналітична геометрія”, а також може бути використаний викладачами при проведенні практичних занять.

Посібник включає:

короткі теоретичні відомості по темам;
практичні заняття по темам;
набір тестових завдань (АКР) по першому модулю;
варіанти домашніх контрольних робіт (ДКР);
теоретичні питання для захисту ДКР студентами.

Зміст практичних завдань по темам наступний:

Тема 1. Вектори. Операції над векторами.

Тема 2. Векторний добуток векторів. Лінійна незалежність векторів.

Тема 3. Рівняння прямої на площині.

Тема 4. Умови перпендикулярності й паралельності двох прямих. Відстань від точки до прямої. Кут між двома прямими.

Тема 5. Канонічні рівняння кривих другого порядку. Формули паралельного переносу координатних осей. Полярна система координат.

Тема 6. Перетворення осей координат на площині. Формули повороту осей.

1. Векторна алгебра

1.1 Теоретичні відомості

В ектором називається напрямлений прямолінійний відрізок і позначається як: , де - початок, а - кінець вектора, або однією буквою (Рисунок.1.1)

Рисунок 1.1

При цьому довжина відрізка називається модулем вектора і позначається символом або .

Якщо початок відрізка співпадає з його кінцем, то вектор називається нульовим .

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій, або на паралельних прямих.

На відміну від фізичних векторів у математиці розглядаються вільні вектори, тобто вони визначені з точністю до точки прикладення.

Два вектори і називаються рівними , якщо:

вони колінеарні ;
мають однакову довжину і напрямлені в одну сторону.

Лінійні операції над векторами це – додавання векторів по правилу трикутника або паралелограма та добуток вектора на дійсне число.

Проекція вектора на вісь дорівнює:

де - кут між вектором та віссю . Тоді , користуючись лінійними операціями над векторами, у прямокутній системі координат маємо:

Frame2

де - одиничні вектори направлені по осям . - проекції вектора на відповідні осі координат.

Легко показати, що модуль вектора , направляючі косинуси:

Frame3

де - кути між вектором і відповідними осями координат.

Якщо і , то

Умова колінеарності двох векторів і це .

Координатами -мірного вектора є дійсних чисел . Сукупність векторів називається лінійно незалежною, якщо рівняння:

Frame4

виконується тільки при умові, що всі . Система лінійно незалежних векторів утворює базис у -мірному просторі по якому можна розкласти будь-який вектор.

Дії над векторами можна зобразити у вигляді таблиці.

Означення та формули

Приклади

1. Якщо і , то вектор або

, ,

1) ,

Вектор

або .

, ,

Вектор

;

; тобто

2. Сумою або різницею двох векторів і називається третій вектор

Добутком вектора на дійсне число називається вектор

1) , , .

Знайти .

Розв'язок:

Відповідь:

3. Скалярним добутком двох векторів і називається число , де - кут між векторами і , .

Якщо і ,

умова ортогональності двох векторів. В координатній формі:

1) Обчислити роботу виконаною силою по прямолінійному переміщенню матеріальної точки з положення в до .

Робота знаходиться по формулі: .

2) Знайти, при якому вектори і будуть перпендикулярними.

3) Знайти вектор , направлений по бісектрисі кута між векторами і , якщо .

Розв’язок:

Відповідь:

Рисунок. 1.2

. Векторним добутком двох векторів і називається вектор

такий, що:

, де - кут між векторами і , довжина вектора чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах і .
і .
Якщо , то вектори , , утворюють праву трійку. (Рисунок.1.2).

Якщо вектори і задані в координатній формі, тобто і в прямокутній системі координат з ортами , тоді векторний добуток можна знайти за формулою:

згідно властивості а), площу трикутника з вершинами , , можна обчислити за формулою:

Якщо і , умова колінеарності, тоді:

1) Визначити, при яких значеннях і вектор буде колінеарний вектору , якщо , .

Відповідь: .

2) Знайти координати вектора , якщо він перпендикулярний векторам і , а також задовольняє умові:

Розв’язок:

Тоді

3) Обчислити площу трикутника з вершинами , і .

Розв’язок:

Знайдемо координати векторів і .

, .

Відповідь:

5. Змішаний добуток трьох векторів. Послідовний добуток трьох векторів , , можна здійснити різними способами. Наприклад, можна вектори і перемножити векторно і отриманий вектор перемножити скалярно на вектор :

В результаті отримаємо число, що відповідає змішаному добутку трьох векторів. Враховуючи геометричний зміст скалярного і векторного добутків, це число означає об’єм призми, побудованої на векторах , і .

Тоді об’єм трикутної піраміди з вершинами у точках , , і обчислюється за формулою:

Якщо змішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то вони лежать в одній площині, або в паралельних і називаються компланарними, тобто - умова компланарності.

1) Обчислити об’єм піраміди , якщо відомі координати її вершин: , , і .

Знайдемо координати векторів , .

Тоді об’єм піраміди дорівнює:

Відповідь: .

2) При якому вектори , , будуть компланарні?

Умова компланарності

3) Довести, що чотири точки , , і лежать в одній площині.

Знаходимо вектори , . Перевіримо умову компланарності:

Відповідь: точки лежать в одній площині.

6. Умова лінійної незалежності системи векторів. Якщо визначник із координат векторів не дорівнює нулю, то такі вектори лінійно незалежні і утворюють базис для даного простору. Будь які два не колінеарні вектори утворюють базис в ( ). Будь які три не колінеарні вектори утворюють базис в ( ), тоді утворений вектор можна розкласти по цьому базису, тобто знайти проекції вектора на вектори , і .