3.2 Определение параметров функции спроса
методом наименьших квадратов ([3], стр 5)
Некоторая
фирма действует на конкурентном рынке.
Цена
на продукцию фирмы на рынке - линейная
функция спроса
:
условных денежных единиц за единицу
продукции, где
- положительные коэффициенты. В случае
равновесия спроса и предложения объем
выпуска фирмы в условных единицах
продукции
удовлетворяет равенству
.
Предполагается, что равновесный спрос
.
Полные издержки производства фирмы
описываются равенством:
,
(1)
где
для всех вариантов.
Прибыль
фирмы, получаемая при производстве
продукции в объеме
условных единиц:
.
(2)
В
данной зависимости
-
известные величины,
- неизвестные коэффициенты, входящие в
формулу цены.
Руководство фирмы желает определить оптимальный объем выпуска продукции с целью максимизации прибыли. Для этого рассматриваются статистические данные, отражающие зависимость цены от спроса.
В приложении 1 приведена исходная информация, которая включают в себя статистические данные – зависимость цены от равновесного спроса ,
Требуется
с помощью модели линейной регрессии по
статистическим данным найти оценки
неизвестных коэффициентов
,
входящих в формулу (1). Затем с помощью
формулы (2) методами математического
анализа найти оптимальное значение
объема выпуска
,
при котором достигается максимальное
значение прибыли
и найти величину
.
4. Методические указания к выполнению заданий
Задачи данного раздела составлены в соответствии с программой курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Решения задач должны содержать все необходимые расчеты и пояснения. С учетом этого требования следует приводить, по возможности, краткие и четкие решения. При решении задач этого раздела следует использовать методы, описанные в учебном пособии «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», автор Гмурман В.Е., изд-во «Высшее образование», 2009 г. [1]. Страницы приведены по указанному (11-му) изданию.
4.2 Методические указания по разделу «Определение оптимальных параметров экономической системы путем математического моделирования»
На первом этапе следует по статистическим данным найти оценки неизвестных параметров линейной корреляционной зависимости цены от равновесного спроса :
Оценки
параметров обозначаются символами
.
Студентам разрешается находить эти
оценки, как аналитически, так и используя
специальные программы на ЭВМ.
Необходимые основы теории корреляционной зависимости и аналитический метод нахождения оценок приведены в приложении 2.
В
результате аналитических расчетов или,
проводя идентификацию уравнения
регрессии с помощью ЭВМ, студент получает
оценки
.
В дальнейшем, эти оценки используются
в качестве приближенных значений
коэффициентов
.
Заключительная часть работы опирается
на исследование функции прибыли:
где
,
.
.
Поскольку все параметры данной функции теперь известны, студент, используя методы, известные из курса математического анализа, исследует данную функцию на экстремум. Должна быть найдена точка максимума, соответствующая неотрицательному значению . Обязательным является доказательство того, что найденная точка экстремума является именно точкой максимума. Это доказательство можно провести по первому или по второму достаточному признаку точки максимума [2].
В
результате должен быть найден оптимальный
объем выпуска
рассматриваемой фирмы в условных
единицах и ее максимальная прибыль
в условных денежных единицах.
Приложение 1