28. Ковариация и коэффициент корреляции.

Мат.ожидания и дисперсии недостаточно полно характеризуют двумерную СВ (X,Y), т.к. не выражают степени зависимости ее составляющих X и Y. Эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции. Ковариацией (или корреляционным моментом) К_ху СВ X и Y наз-ся мат.ожиданиепроизведения отклонений этих величин от своих мат.ожиданий, т.е.

К_ху=М[(X-M(X))(Y-M(Y))], или К_ху=[(X-a_x)(Y-a_y)], где а_х=М(Х), а_у=М(Y).

Из определения следует, что К_ху= К_ух. Кроме того, К_хх=М[(X-a_x)(X-a_x)]= М(X-a_x)²=D(X), т.е. ковариация СВ с самой собой есть ее дисперсия.

Для дискретных СВ: К_ху= ∑_i=1ⁿ ∑_j=1^m (x_i-a_x)(y_j-a_y)p_ij.

Для непрерывных СВ: К_ху= ∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞ (x-a_x)(y-a_y) φ(х,у) dx dy.

Ковариация 2 СВ характеризует как степень зависимости СВ, так и их рассеяние вокруг точки (a_x,a_y). Об этом свидетельстуют свойства ковариации СВ.

Коэффициентом корреляции 2 СВ наз-ся отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: ρ_ху= К_ху/ϭ_хϭ_у. из определения следует, что ρ_ху=ρ_ух=ρ. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина.

Если рассматривать СВ X и Y как случайные векторы, их ковариацию – как аналог скалярного произведения 2 векторов, средние квадратич.отклонения как аналоги длин этих векторов, то коэффициент корреляции представляет аналог косинуса угла между векторами.

Свойства: 1) коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1]. т.е. -1 ≤ ρ ≤ 1.

2) если СВ независимы, то их коэффициент корреляции = 0.

3) если коэффициент корреляции 2 СВ равен (по абсолютной величине) единице, то между этими СВ существует линейная функциональная зависимость.

29. Закон больших чисел. Неравенство Маркова.

Под ним понимается ряд математических теорий, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным.

Неравенство Маркова. Если СВ принимает неотрицательное значение и имеет мет.ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство: p*(x>A) ≤ M(x) / A.

Событие х>A и событие х≤А являются противоположными. Тогда нер-во можно представить в след.виде: р(х≤А) > 1- M(x)/A.

Пример: определение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вер-сть того, что сегодня отделением банка будет обслужено: 1) не более 200 кл. 2) более 150 кл.

М(х)=100. 1) Р(х≤200) > 1- 100/200 = 1/2. 2) Р(х<150) ≤ 100/150 = 2/3.

30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

Под ним понимается ряд математических теорий, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным.

Неравенство Чебышева. Для любой СВ, имеющей мат.ожидание и дисперсию, справедливо:

Р( |x-a| > Е) ≤ D(x)/ Е². Учитывая, что событие |x-a| > Е и |x-a| ≤ Е являются противоположными, то неравенство будет иметь вид: Р( |x-a| ≤ Е) ≥ 1- D(x)/ Е². Это неравенство примет вид для след. СВ:

1. -для СВ Х=m, имеющей биноминальный ЗР с М(х)=np, D(x)=npq, где q=1-p , примет вид:

Р( |m-np| ≤ Е) ≥ 1- npq/ Е²

ПРИМЕР. Устр-во состоит из 10 независимых работающих элементов. Вер-сть отказа каждого элемента за время Т=0,5. Оценить вер-сть того что абс. величина разности м/у числом отказавших элементов и средним числом – М(х) отказов за время Т окажется: а)меньше 2. б) не меньше 2.

N=10. p=0,05, q=0,95. a) P(|x-0,5|≤2) ≥ 1- 0,475/4=0,881.

a=np=0,05*10=0,5. б) P(|x-0,5|>2) ≤ 0,475/4 = 0,119.

D(x)=npq=0,5*0,95=0,475.

2. Для частоты m/n в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с 1 и той же вероятностью р=М(m/n) и имеющей D(m/n)= pq/n, выполняется нер-во:

P(|m/n-p| ≤ Е) ≥ 1- pq/ nЕ².

ПРИМЕР. В среднем работосп-сть нас-я некоторого региона сост-ют безработные. Оценить вер-сть того что ур-нь безработицы среди исследов-ых 100 000 работосп-ых жителей региона будет от 9% до 11% включит-но.

M(x)= 10/100= 0,1. [0,09; 0,11]

P(0,09≤m/n≤0,11) = P(-0,01≤m/n-0,1≤0,01) = P(|m/n-0,1|≤0,01)

По нер-ву 2) имеем: P(|m/n-0,1|≤0,01) ≥ 1- (0,1-0,9)/100 000* 0,01²= 1- 0,09/10=0,991.

Т.о. вер-сть того, что ур-нь без-цы среди обследов-ых 100 000 работосп-ых жителей региона будет в пределах от 9% до 11% составляет не менее 0,991.

31-33 НЕ НАДО