22. Точные ЗР СВ. Распределение Фишера-Снедекора.

Если U и V – независимые СВ, распределенные по закону x², со степенями свободы k₁, k₂, то величина F= (U/k₁) / (V/k₂) имеет распределение, которое называют распределением Ф.-С. со степенями свободы k₁, k₂. Плотность этого распределения:

┌ 0, при x ≤ 0,

f(x)= │

└ С_{0 =} (x^(k₁^-2)/2) /

(k₂+k₁x)^(k1+k2)/2 , при x > 0,

Где С₀ = Г (k₁+k₂)/2* k₁^k1/2 *k^k2/2 . M= k₂ , k₂>2. ∂²= 2k₂²(k₁+k₂-2) , k₂>4.

Г(k₁/2)Г(k₂/2) k₂-2 k₁(k₂-2)²(k₂-4)

Распределение определяется 2 параметрами-числами степеней свободы.

23. Понятие двумерной дискретной СВ и таблица ее распределения.

Очень часто рез-тат испытания характериз-ся не 1 СВ, а системой СВ: X₁,X₂,..X_n, которую также наз-ют многомерной СВ или случ.вектором X=(X₁,X₂,..X_n). Любая СВ есть ф-я элементарных событий. Каждому элементарному событию ставится в соотв-вие несколько действ.чисел. Так, если рассм-ся 2-мерная дискретная СВ (X,Y), то ее 2-мерное распред-е можно представить в виде таблицы распределения, в каждой клетке (i,j) которой располагаются вероятности произведения событий p_i,j=P[(X=x_i)(Y=y_j)].

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y)  имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p(x_i, y_j), с которыми величина принимает значение (x_i, y_j):

Y	Х
	x1	x2	…	xi	…	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
…	…	…	…	…	…	…
Yj	p(x1, yj)	p(x2, yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распреде-ления ее составляющих. Действительно, событие Х = х₁ представляется собой сумму несовместных событий (X = x₁, Y = y₁), (X = x₁, Y = y₂),…, (X = x₁, Y = y_m), поэтому

р(Х = х₁) = p(x₁, y₁) + p(x₁, y₂) +…+ p(x₁, y_m) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х₁). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = y_j.

24. Функция распределения 2мерной св.

Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y:

F( х, у ) = p ( X < x, Y < y ). Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины.

Свойства функции распределения.

1)      0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью).

2)      F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:

F(x₂, y) ≥ F(x₁, y), если x₂ > x₁;

F(x, y₂) ≥ F(x, y₁), если y₂ > y₁.

Доказательство. F(x₂, y) = p(X < x₂, Y < y) = p(X < x₁, Y < y) + p(x₁ ≤ X < x₂, Y < y) ≥

≥ p(X < x₁, Y < y) = F(x₁, y). Аналогично доказывается и второе утверждение.

3)      Имеют место предельные соотношения:

а) F(-∞, y) = 0; b) F(x, - ∞) = 0; c) F(- ∞, -∞) = 0; d) F( ∞, ∞) = 1.

Доказательство. События а), b) и с) невозможны ( так как невозможно событие Х<- ∞ или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств.

4)      При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Х:

F(x,  ∞) = F₁(x).

При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющейY :

F( ∞, y) = F₂(y).

Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F(x,  ∞) = р(Х < x) = F₁(x). Аналогично доказывается второе утверждение.

25. Плотность вероятности 2мерной св.

Плотностью вероятности(плотностью распределения) непрерывной двумерной случайно величины (X,Y) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

ϕ (x,y)= ϭ²F(x,y) = F^”_xy (x,y).

Свойства двумерной плотности вероятности.

1)      f(x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен).

2)        (cледует из определения двумерной плотности вероятно-сти).

3)        (поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость Оху, то есть достоверного события).

26. Условные законы распределения 2мерной св.

Если события А и В зависимы, то усл.вероятность события В отличается от его безусловной вероятности. Р_А(В) = Р(АВ)/Р(А). Аналогично и со СВ.

Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины (X,Y) наз-ся ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла опред.значение(или попала в какой-то интервал). Обозначим усл.вероятность того, что Х примет значение х₁ при условии что У=у₁ через р(х₁/у₁). Эта вероятность не будет равна безусловной вероятности р(х₁).

Условным распределением составляющей Х при У=у_j наз-ют совок-сть условных вероятностей р(х₁,у_j).., р(х_nу_j), вычисленных в предположении, что событие У=у_j уже наступило. (имеет одно и то же значение при всех значениях Х).

Зная ЗР двумерной дискретной СВ, можно вычислить условные ЗР составляющих. Условный ЗР «Х» можно найти по формуле:        .

Таким же образом можно найти вероятности возможных значений Х при условии, что Y принимает любое другое свое возможное значение:

.                                                 

Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:

.               

27. Числовые характеристики двумерной СВ. Регрессия.

Числовые характеристики одномерных составляющих Х и У и их усл.распределений – мат.ожидание М(Х),М(Y), дисперсия D(X),D(Y), условное мат.ожидание M_y(X), M_x(Y), условная дисперсия D_y(X), D_x(Y) нах-ся по обычным формулам мат.ожидания и дисперсии, в которых используются соответствующие вероятности или плотности вероятностей(табл).

Условное мат.ожидание СВ Y при условии Х=х, т.е. М_х(Y) есть функция от х, называемая функцией регрессии или просто регрессией Y по X. Аналогично М_у(Х) наз-ся регрессией Х по Y. Графики этих функций наз-ся линиями(кривыми) регрессии Y по Х, Х по Y.

Осн.св-ва условных мат.ожиданий и дисперсий аналогичны св-вам их «безусловных» аналогов,только проводимые в них операции понимаются теперь уже не как действия над числами, а как действия над функциями.

Дополнит.св-ва:

1. Если Z=g(x), g – некот. неслучайная функция от Х, то M_z(M_x(Y))=M_z(Y). В частности, M(M_x(Y))=M(Y). (правило повторного ожидания).

2. Если Z=g(x), то М_х(ZY)=ZM_x(Y).

3. Если СВ X и Y независимы, то M_x(Y)=M(Y).